Презентация "Основные теоремы и формулы вероятности"

МУЛЬТИМЕДИЙНОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ
ЛЕКЦИОННОГО ЗАНЯТИЯ по теме: «Изложение основных теорем и формул вероятностей»

План лекции

Теорема сложения вероятностей
Условная вероятность
Теорема умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А1+А2+ … +Аn.

Теорема сложения вероятностей

Теорема: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей

Следствие 1. Если событие А1, А2, … ,Аn образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.

Теорема сложения вероятностей

№ 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Теорема сложения вероятностей

Решение:
Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

Ответ: 0,3.

Условная вероятность

При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос:
Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?
Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.

Условная вероятность

Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число

Обозначив условную вероятность , получим формулу

Условная вероятность

№ 2. На столе 2 яблока и 3 апельсина. Наугад выбирают два фрукта. Какая вероятность, что оба будут апельсины?

Условная вероятность

Решение:
Пусть А – достали апельсин и В – тоже достали апельсин, только уже при условии, что первый был апельсин.
Тогда P (A) = 3 / 5, а P(B)= 2 / 4.
По формуле, получим Р (А/В) = 3 / 5 * 2 / 4 = 3 / 10

Ответ: 0,3.

Теорема умножения вероятностей

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Теорема умножения вероятностей

Теорема: вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

Теорема сложения вероятностей

№ 3. В первой урне находится 6 черных и 4 красных шара, во второй- 5 черных и 7 красных шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Теорема умножения вероятностей

Решение:
Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.

Ответ: .

Теорема сложения вероятностей

№ 4. В мишень одновременно стреляют два стрелка. Вероятность того, что промажет первый равна 0,2. Вероятность, что промажет второй равна 0,3. Найдите вероятность того, что а) оба промажут; б) оба попадут.

Теорема умножения вероятностей

Решение:
а) Пусть событие А – первый стрелок промажет, событие В - второй стрелок промажет. Эти события независимы (по условию), тогда
P (A*B) = 0,2 * 0,3 = 0,06 или 6%.
б) Введем противоположные события: С - первый стрелок попадет в цель, D - второй стрелок попадет в цель, тогда
P (C*D) = 0,8 * 0,7 = 0,56 или 56%.

Ответ: 6% и 56%.

Вопросы для фронтального опроса

1. Что называется суммой конечного числа событий?

2. Каким образом сумма событий обозначается на кругах Эйлера-Венна?

3. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

4. Сформулируйте следствия из теоремы сложения вероятностей.

Вопросы для фронтального опроса

5. Что называется условной вероятностью? Приведите примеры.

6. Какое событие называется независимым? Приведите примеры.

7. Каким образом сумма событий обозначается на кругах Эйлера-Венна?

8. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Список используемых источников

1. Балдин К. В. Математика и информатика: учебное пособие / К.В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев., В. Б. Уткин под рук. Балдина К. В.- М.: КНОРУС, 2020.
2. Гилярова М. Г. Математика для медицинских колледжей /М. Г. Гилярова. - Р.н/Д.: Феникс, 2018
3. Колесов В. В., Романов М. Н. Математика для медицинских колледжей / В. В. Колесов, М. Н. Романов. - Р.н/Д.: Феникс, 2018