Презентация "Параллельность прямых, прямой и плоскости"

ЛПТТ имени А.К.Лысенко
Преподаватель С.В.Михеева

Доказательство :

Рассмотрим прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой . Через прямую a и точку M проходит плоскость , обозначим её буквой α . Прямая , проходящая через точку M параллельна прямой a и лежит в одной плоскости с точкой M и прямой a , в плоскости α . На рисунки прямая обозначается буквой b и b – единственная прямая проходящая через точку M параллельна прямой a .

Параллельность трёх прямых.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость , то и другая прямая пересекает эту плоскость .
Доказательство : Рассмотрим параллельные прямые a и b , одна из которых – прямая a – пересекает плоскость α в точке М . Докажем , что прямая b так же пересекает плоскость α , то есть имеет с неё одну общую точку .

Теорема : Если две прямые параллельны третьей прямой , то они параллельны .
Доказательство : Пусть a||c и b||c . Докажем , что a||b . Нужно доказать, что прямая a и b : 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются .
1) Отметим точку К на прямой b и обозначим плоскость буквой α , проходящую через прямую a и точку К . Прямая b лежит в этой плоскости , если допустить , что прямая b пересекает плоскость α , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с так же пересекает плоскость α . Прямая a и с параллельны то и прямая a пересекает плоскость α, что не возможно так как прямая а лежит в плоскости α.

2) Прямая а и b не пересекается , так как через точку их пересечения проходили бы 2 прямые (a и b) , параллельные прямой c , что не возможно . Теорема доказана .

Параллельность прямой и плоскости.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости , то согласно аксиоме А2 вся прямая лежит в этой плоскости . Есть три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :
а) прямая лежит в плоскости ;
б) прямая и плоскость имеют одну общую точку , т.е. пересекаются ;
в)прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Определение : Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек .

Теорема:

Если пряма , не лежащая в данной плоскости , параллельна какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости .
Доказательство : Рассмотри плоскость α и две параллельные прямые a и b . Прямая b лежит плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости . Докажем. Если это не так , тогда прямая а пересекает плоскость α , а значит , по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость α . Это не возможно , так как прямая b . Лежит в плоскости α. Прямая а не пересекает плоскость α , поэтому она параллельна этой плоскости.

1. Если плоскость проходит через данную прямую , параллельную другой плоскости , и пересекает эту плоскость , то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой .

2.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости , то другая прямая либо также параллельна данной плоскости , либо лежит в этой плоскости .


1 2

Спасибо за внимание .