Презентация по информатике по теме "Дискретизация. Вычисление длины кривой"

Дискретизация Вычисление длины кривой

Содержание

Длина отрезка
Длина ломаной
Построение графика функции на отрезке [a, b]
Вычисление длины кривой на отрезке [a, b]
Построение эллипса
Вычисление периметра эллипса

Длина отрезка

Длина отрезка

X2-X1

Y2-Y1

?

Теорема Пифагора!

Длина отрезка

Длина ломаной

𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑦𝑦2−𝑦𝑦1) (𝑦2−𝑦1) 2 2 (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 + (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑥3−𝑥2) 2 (𝑥𝑥3−𝑥𝑥2) (𝑥3−𝑥2) 2 2 (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑦𝑦3−𝑦𝑦2) (𝑦3−𝑦2) 2 2 (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2

Длина ломаной

h – шаг изменения
h = Х2-Х1 = Х3-Х2 = Х4-Х3

h

h

h

Построение графика функции на отрезке [a; b], вычисление длины кривой в MS Excel

Заполняем таблицу значений для х и у на отрезке [a; b].
Выделяем таблицу значений и строим точечную диаграмму.
Заполняем третий столбец таблицы для расчета длины кривой.
𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑦𝑦2−𝑦𝑦1) (𝑦2−𝑦1) 2 2 (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2
Чем меньше шаг изменения значения х (частота дискретизации), тем точнее получим результат!

4. Складываем длины отрезков на каждом участке кривой.

Построение параболына отрезке [0; 10] с шагом 0,1

Выделяем таблицу значений.

Выполняем последовательность действий: Вставка – Диаграмма – Точечная.

Вычисляем длину кривойна каждом шаге дискретизации

Используем формулу:
𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑦𝑦2−𝑦𝑦1) (𝑦2−𝑦1) 2 2 (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2

Для расчета длины параболы, на заданном отрезке , складываем длину всех отрезков L

Чем меньше шаг изменения значения х (частота дискретизации), тем точнее получим результат!

Программа вычисления длины кривой на Pascal

begin
x:= a;
L:= 0;
while x < b do begin
y1:= f(x);
y2:= f(x+h);
L:= L + sqrt(h*h + (y2-y1)*(y2-y1));
x:= x + h
end;
writeln('Длина кривой ', L:10:3);
end.

[a, b] границы отрезка
h – шаг дискретизации

Описание переменных и констант

const
a=0;
b=10;
h=1;
var
n, i :integer;
L, y1, x, y2: real;

Задание функции

function f(x: real): real;
begin
f:=……;
end;

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:
( a  и  b – положительные действительные числа)

    – каноническое уравнение эллипса;

2)   – каноническое уравнение гиперболы;

3)    – каноническое уравнение параболы;

4)   – мнимый эллипс;

5)   – пара пересекающихся прямых;

6)   – пара мнимых пересекающихся прямых
(с единственной действительной точкой пересечения
в начале координат);

7)   – пара параллельных прямых;

8)   – пара мнимых параллельных прямых;

9)   – пара совпавших прямых.

Эллипс

A, B – полуоси эллипса

О

R

R

О

A

B

𝑥 2 𝑎 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑦 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑦 2 𝑏 2 =1, a>b

Вычисление периметра эллипса

.

Приближенная формула Рамануджана

Построение эллипса

Уравнение эллипса с центром в начале координат и с центром в точке (x0;y0).



Для построения эллипса будем использовать 20 точек с углом окружности от 0  до 2π.
Для построения эллипса рассчитаем значения х и у.
Координата х: х0+a*cos(a).
Координата y:   y0+b*sin(a).

Нужно ввести соответствующие формулы в ячейки таблицы, установив, где требуется абсолютные ссылки. Затем построим график эллипса, выбирая точечную диаграмму с гладкими  кривыми

(𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 (𝑥𝑥− 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 ) (𝑥− 𝑥 0 ) 2 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 + (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 (𝑦𝑦− 𝑦 0 𝑦𝑦 𝑦 0 0 𝑦 0 ) (𝑦− 𝑦 0 ) 2 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 =1, a>b

Построить эллипс

Даны координаты центра эллипса (3;2) и значения большой и малой полуосей a=5 см и b=7 см.  Построить эллипс.
Вспомним уравнение эллипса с центром в начале координат и с центром в точке (x0;y0).
х^2/а^2 + у^2/b^2 =1
(х-х0)^2/а^2 +( у-у0)^2/b^2 =1
Для построения эллипса будем использовать 20 точек с углом окружности от 0  до 2π.
Также зададим координаты центра эллипса (3;2) и значения большой и малой. 

Для построения эллипса рассчитаем значения х и у.
Координата х считается по формуле: х0+a*cos(a).
Координата y рассчитывается по формуле:  y0+b*sin(a).

Нужно ввести соответствующие формулы в ячейки таблицы, установив, где требуется абсолютные ссылки.

Затем построим график эллипса, выбирая точечную диаграмму с гладкими  кривыми.

Угол считаем по формуле:

Построение эллипса

Выделяем только 2 столбца значений: х и у.
Поскольку эллипс – фигура, которая задается на координатной плоскости уравнением, то для построения диаграммы используем тип «Точечная»

Построение эллипса

Построение эллипса

Диаграмма (построенный эллипс) может отличаться от того, что изображено на слайде. Это зависит от масштаба координатных осей.

Источники

Поляков К.Ю. Информатика. 10 класс. Ч. 2: учебник / К. Ю. Поляков, Е. А. Еремин. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019