Презентация по математике «Синус, косинус и тангенс»

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла.

9 класс

Повторим!

sin 𝐴 sin sin 𝐴 𝐴𝐴 sin 𝐴 = 𝑎 𝑐 𝑎𝑎 𝑎 𝑐 𝑐𝑐 𝑎 𝑐

cos 𝐴 cos cos 𝐴 𝐴𝐴 cos 𝐴 = 𝑏 𝑐 𝑏𝑏 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 𝑏 𝑐

𝑡𝑔𝐴= 𝑎 𝑏

А

В

С

Задача 1.

Найдите тангенс угла B треугольника ABC, изображённого на рисунке.

Решение:
𝒕𝒕𝒈𝒈 𝑩𝑩= 𝑨𝑪 𝑩𝑪 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑨𝑪 𝑩𝑪

Задача 2.

В треугольнике АВС угол А равен 90˚. Найти АВ, если известно, что ВС = 12 см, а sin А sin sin А А sin А =0,8

А

В

С

Решение:
sin А sin sin А А sin А = ВС АВ ВС ВС АВ АВ ВС АВ

АВ= 12∙10 8 12∙10 12∙10 8 8 12∙10 8 = 15(см)

Определение Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

sin  =

∆OMD - прямоугольный

MD = y

OM = 1

sin  = y

Синус угла – ордината у точки М

cos  =

OD = x

OM = 1

cos  = x

Косинус угла – абсцисса х точки М

tg  =

MD = y = sin 

OD = x = cos 

Так как координаты (х; у) заключены в промежутках

то для любого  из промежутка

справедливы неравенства:

Так как точки А, С и B имеют координаты
А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

sin  = y,

cos  = x

для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180

sin 90°+𝛼 = − cos 𝜶 sin sin 90°+𝛼 = − cos 𝜶 90°+𝛼 90°+𝛼𝛼 90°+𝛼 = − cos 𝜶 − cos − cos 𝜶 𝜶𝜶 − cos 𝜶 sin 90°+𝛼 = − cos 𝜶

cos 90°+ 𝛼 cos cos 90°+ 𝛼 90°+ 𝛼 90°+ 𝛼𝛼 90°+ 𝛼 cos 90°+ 𝛼 = sin 𝜶 sin sin 𝜶 𝜶𝜶 sin 𝜶

Задача 3.

Принадлежат ли единичной окружности точки: М(-1;0), Р 2 2 ; 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 5 2 5 5 5 5 5 2 2 5 2 2 2 ; 5 2 , К − 3 2 ; 1 2 − 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 ; 1 2 1 1 2 2 1 2 − 3 2 ; 1 2 ?

Решение:

М(-1;0):

Р 2 2 ; 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 5 2 5 5 5 5 5 2 2 5 2 2 2 ; 5 2 :

К − 3 2 ; 1 2 − 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 ; 1 2 1 1 2 2 1 2 − 3 2 ; 1 2 :

(-1)2 + 02 = 1

1 + 0 = 1

1 = 1

М принадлежит окружности.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 5 2 5 2 5 5 5 5 5 2 2 5 2 5 2 2 = 1

2 4 2 2 4 4 2 4 + 5 4 5 5 4 4 5 4 = 1

7 4 7 7 4 4 7 4 ≠ 1

Р не принадлежит окружности.

Задача 4.

sin 𝛼 sin sin 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 = 1 4 1 1 4 4 1 4 . Найдите cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 , 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼𝛼, 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼𝛼.

Решение:

𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 𝜶𝜶= cos 𝜶 sin 𝜶 cos 𝜶 cos cos 𝜶 𝜶𝜶 cos 𝜶 cos 𝜶 sin 𝜶 sin 𝜶 sin sin 𝜶 𝜶𝜶 sin 𝜶 cos 𝜶 sin 𝜶

cos2α = 1 - sin2α

cosα = 1 − sin2α 1 − sin2α 1 − sin2α 1 − sin2α

cosα = 1 − 1 4 2 1 − 1 4 2 1 − 1 4 1 4 1 1 4 4 1 4 1 4 2 1 − 1 4 2

= 1 − 1 16 1 − 1 16 1 − 1 16 1 1 16 16 1 16 1 − 1 16

= 15 16 15 16 15 16 15 15 16 16 15 16 15 16

= 15 4 15 15 15 15 15 4 4 15 4

Задача 4.

sin 𝛼 sin sin 𝛼 𝛼𝛼 sin 𝛼 = 1 4 1 1 4 4 1 4 . Найдите cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 , 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼𝛼, 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼𝛼.

Решение:

𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 𝜶𝜶= cos 𝜶 sin 𝜶 cos 𝜶 cos cos 𝜶 𝜶𝜶 cos 𝜶 cos 𝜶 sin 𝜶 sin 𝜶 sin sin 𝜶 𝜶𝜶 sin 𝜶 cos 𝜶 sin 𝜶

Задача 5.

Решение:

sin 120° sin sin 120° 120° sin 120° = sin 180°−60° sin sin 180°−60° 180°−60° 180°−60° 180°−60° sin 180°−60° =

= sin 60° sin sin 60° 60° sin 60° =

cos 120° cos cos 120° 120° cos 120° = cos 180° −60° cos cos 180° −60° 180° −60° 180° −60° 180° −60° cos 180° −60° =− cos 60°= cos cos 60°= 60°= cos 60°=

tg 120°= sin 120° cos 120° tg tg 120°= sin 120° cos 120° 120°= sin 120° cos 120° sin 120° sin sin 120° 120° sin 120° sin 120° cos 120° cos 120° cos cos 120° 120° cos 120° sin 120° cos 120° tg 120°= sin 120° cos 120° = sin 60° cos 60° sin 60° sin sin 60° 60° sin 60° sin 60° cos 60° cos 60° cos cos 60° 60° cos 60° sin 60° cos 60° = 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 : 1 2 1 1 2 2 1 2 = 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 ∙ 2 1 2 2 1 1 2 1 =

x= 𝑶𝑶𝑨𝑨∙ cos 𝜶 cos cos 𝜶 𝜶𝜶 cos 𝜶

𝒚𝒚= 𝑶𝑶𝑨𝑨∙ sin 𝜶 sin sin 𝜶 𝜶𝜶 sin 𝜶

Задача 6.

Найти координаты точки А, если отрезок ОА = 3, а угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен 60°.

Решение:

x= 𝑶𝑶𝑨𝑨∙ cos 𝜶 cos cos 𝜶 𝜶𝜶 cos 𝜶

𝒚𝒚= 𝑶𝑶𝑨𝑨∙ sin 𝜶 sin sin 𝜶 𝜶𝜶 sin 𝜶

Находим координату х точки А:

x=𝟑𝟑∙ cos 60°=3∙ 3 2 = cos cos 60°=3∙ 3 2 = 60°=3∙ 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 = cos 60°=3∙ 3 2 = 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟑 𝟑 𝟐

Находим координату у точки А:

𝒚𝒚=𝟑𝟑∙ sin 60°=3∙ 1 2 = 3 2 =1,5 sin sin 60°=3∙ 1 2 = 3 2 =1,5 60°=3∙ 1 2 1 1 2 2 1 2 = 3 2 3 3 2 2 3 2 =1,5 sin 60°=3∙ 1 2 = 3 2 =1,5