Презентация по теме : "Объём прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра ". (геометрия 11 класс )
Объём прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра
Объём прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра
Цель урока:
познакомиться с понятием объёма; рассмотреть свойства объёмов; теорему об объёме прямоугольного параллелепипеда и следствие о прямой призме, основание которой прямоугольный треугольник, вывести формулу объёма цилиндра.
Понятие объёма За единицу измерения объёмов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков
Понятие объёма
За единицу измерения объёмов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1см называют кубическим сантиметром, обозначают . Аналогично определяются кубический метр , кубический миллиметр .
Свойства объёмов:
Равные тела имеют равные объёмы.
Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Объём куба с ребром равен
Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений
Теорема:
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
V = abc
Следствие 1:
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Следствие 2:
Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
Дано:
– прямая треугольная призма,
Доказать:
Доказательство:
Объём прямой призмы Теорема: Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту
Объём прямой призмы
Теорема:
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
1. – прямая треугольная призма с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника АВС (BD), которая разделяет треугольник на два треугольника. (BB1D) разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC.
Т. е.
2. Произвольную призму разобьём на треугольные призмы с высотой h.
Объём цилиндра Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра
Объём цилиндра
Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.
Призма описана около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра.
Высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра
Теорема: Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Доказательство Впишем в данный цилиндр
Доказательство
Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n–угольную призму Fn, а в эту призму впишем цилиндр Рп. Пусть V – объём цилиндра Р, Vn – объем цилиндра Рп; rп радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен Sn∙h, где Sn — площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn, которая, в свою очередь, содержит цилиндр Рп, то Vn < S n ∙ h < V. (2)
Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп цилиндра Рп стремится к радиусу r цилиндра Р
h
Цилиндр
Поэтому объём цилиндра стремится к объёму цилиндра Р:
Рп
Из неравенства (2) следует, что
Но
Т.е.
Итак, объём цилиндра равен:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
