Презентация по теме : "Соотношение между элементами треугольника" . (геометрия 8 класс )

На рисунке AB > BC. Докажите, что угол 1 больше угла 2.

На рисунке угол 1 больше угла 2. Докажите, что AB > BC.

На рисунке угол 1 меньше угла 2. Докажите, что угол A меньше угла B.

На рисунке угол A меньше угла B. Докажите, что угол 1 меньше угла 2.

На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 3 меньше угла 4. Докажите, что CD < AB.

Решение. Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и ее точку пересечения с прямой AB обозначим E. Так как угол 3 меньше угла 4 и угол 3 равен углу ACE, то точка E будет внутренней точкой отрезка AB. Четырехугольник ABCE – параллелограмм и, следовательно, CD = AE < AB.

На рисунке угол 1 равен углу 2, CD < AB. Докажите, что угол 3 меньше угла 4.

Решение. На отрезке AB возьмем точку E так, что AE = CD. Четырехугольник ABCE – параллелограмм. Следовательно, угол 3 равен углу ACE и, значит, угол 3 меньше угла 4.

На рисунке AB = BC, AD < CD. Докажите, что угол 1 больше угла 2.

Решение. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольник ABC равнобедренный и, следовательно, угол BAC равен углу BCA. В треугольнике ACD AD < CD и, следовательно, угол DAC больше угла DCA. Значит, угол 1 больше угла 2.

На рисунке AB = BC, угол 1 больше угла 2. Докажите, что AD < CD.

Решение. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольник ABC равнобедренный и, следовательно, угол BAC равен углу BCA. Так как угол 1 больше угла 2, то угол DAC больше угла DCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ACD выполняется неравенство AD < CD.

На рисунке AB = AD, BC = CD, AB < BC. Докажите, что угол A больше угла C.

Решение. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то угол DAC больше угла DCA и угол BAC больше угла BCA. Значит, в четырехугольнике ABCD угол A больше угла C.

На рисунке AB = AD, BC = CD, угол A больше угла C. Докажите, что AB < BC.

На рисунке AC > AB, CD = BD. Докажите, что угол ACD меньше угла ABD.

Решение. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC угол ACB меньше угла ABC. Треугольник BCD равнобедренный и, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACD меньше угла ABD.

На рисунке CD = BD, угол ACD меньше угла ABD. Докажите, что AC > AB.

Решение. Треугольник BCD равнобедренный и, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACB меньше угла ABC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB.

На рисунке AB > BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC меньше угла DEC.

Решение. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC угол BAC меньше угла BCA. Треугольник CDE равнобедренный и, следовательно, угол DEC равен углу DCA. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, угол BAC меньше угла DEC.

На рисунке CD = DE, угол BAC меньше угла DEC. Докажите, что AB > BC.

Решение. Треугольник CDE равнобедренный и, следовательно, угол DEC равен углу DCA. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, угол BAC меньше угла DEC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB > BC.

На рисунке АВ = АС и угол 1 больше угла 2. Докажите, что угол 3 больше угла 4.

На рисунке АВ = АС и угол 3 больше угла 4. Докажите, что угол 1 больше угла 2.

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.

Решение. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC имеем: AB < AC + BC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства AB, получим 2AB < AB + BC + AC. Следовательно, AB <( AB + BC + AC)/2.

Докажите, что если в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CH – высота, то угол ACH больше угла BCH.

Докажите, что из двух высот треугольника больше та, которая опущена на меньшую сторону.

Докажите, что высота треугольника меньше полусуммы сторон, прилежащих к ней.

Решение. Пусть CC1 – высота треугольника ABC. Воспользуемся тем, что перпендикуляр короче наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. Тогда CC1 < AC и CC1 < BC. Складывая эти два неравенства, получим СС1 < (AC + BC)/2.

Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Решение. Пусть CC1 – медиана треугольника ABC. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CC1 < AC + AC1, CC1 < BC + BC1. Складывая эти неравенства, получим CC1 < (AC + BC + AB)/2.