Презентация по теме : "Создание проблемных ситуаций на уроках математики"

Разработала учитель математики
МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса
Саратовской области
Волосожар Марина Ивановна

Проблемное обучение основано на создании особого вида мотивации – проблемной, поэтому требует адекватного конструирования дидактического содержания материала, который должен быть представлен как цепь проблемных ситуаций.
Технология проблемного обучения реализуется на основе следующих факторов:
– оптимальный подбор проблемных ситуаций и средств их создания;
– отбор ситуаций тесно связан с применением их в повседневной жизни;
– учет особенностей проблемных ситуаций в различных видах учебной работы и в различных классах;
– личностный подход и мастерство учителя, способные вызвать активную познавательную деятельность ребенка

Решаются задачи недостаточными или избыточными исходными данными; с неопределенностью в постановке вопроса; с противоречивыми данными; с заведомо допущенными ошибками; с ограниченным временем решения. 

1. Постройте прямоугольник со сторонами 2, 3 и 5 см. 2. Больший угол треугольника равен 50°. Найдите остальные углы. 3. Две стороны треугольника перпендикулярны третьей. Определите вид треугольника. 4. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 75°. Найдите углы треугольника. 5. Диагональ ромба в два раза больше его стороны. Найдите углы ромба. 

Пример 7 кл. Тема «Линейные уравнения с одной переменной».
Решаю быстро уравнение:
(5Х+ 8) х 2 – 3 = 19
10Х + 16 – 3 = 19
10Х = 19 – 16 – 3
10Х = 0
Х = 0
Естественно при проверке ответ не сходится

Проблемная ситуация. Ищут ошибку. Дети решают проблему. Результат - внимательность и заинтересованность на уроке.
Пример 8кл. Тема:«Квадратный корень»(Я.Перельман)
Докажем , что 2•2 =5.
К обеим частям тождества 16-36=25-25 добавим равные числа:
16-36+20,25=25-45+20,25,
Откуда (4-2,25)² = (5- 2,25)²
Извлекая корень из обеих частей равенства,получим:
4-2,25 = 5-2,25
Откуда 4=5, или 2•2 =5. Где ошибка?

Пример №1.7 кл. Тема: «Формулы сокращённого умножения»
Преступники украли в банке большую сумму денег. Их поймали, но похищенную сумму установить не удалось. Преступники категорически отказываются назвать её, утверждая, что записали это число в виде степени и зашифровали не только основание, но и её показатель. Экспертам удалось узнать основание степени. Это число 597. Но каким был показатель не говорят. После очередного допроса преступники сказали, что показатель степени является корнем уравнения
( 2y +1)2 – 4y2 =9
y = 2
5972 = (600 – 3)2 =6002 -2 х 600 х 3 + 32 = 360000 – 3600 + 9 =356409
 

Пример №2. 9 кл. Тема «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»
Изучение вопроса о сумме n–первых членах арифметической прогрессии в 9-ом классе начинаю с рассказа: “Примерно 200 лет тому назад в одной из школ Германии на уроке математики учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 натуральных чисел. Все принялись подряд складывать числа, а один ученик почти сразу же дал правильный ответ. Имя этого ученика Карл Фридрих Гаусс. В последствии он стал великим математиком. Как удалось Гауссу так быстро подсчитать эту сумму?”
Проблемная ситуация: как найти быстро сумму первых 100 натуральных чисел?
Решение проблемы (1 + 100) х 50 = 5050
Последовательность чисел 1, 2, 3,…,100 является арифметической прогрессией. Теперь выводим формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример №3.5кл.Тема:«Совместные действия
сложения, вычитания и умножения десятичных
дробей»
Игра «Поле чудес»
Решите примеры, найдите в таблице
соответствующие полученному ответу буквы и
составьте слова.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26
Ч ЕСТНОСТЬ К Р А С И Т З В А Н И Е Л Ю Б О Е
ШИЛЛЕР




1)3,2•2 +8,32; 6)(24,3-16,8)•1,4; 11)16,8+1,3•3,6; 16)12,6-1,4•2,3;
2)(3,6+1,05)•0,2; 7)4,8-0,17•3; 12)47,4-6,7•3,5; 17)0,8•26+3,4•12
3)(6,7-3,4)•1,3; 8)43,41-8,3•4,5; 13)(6,7-3,4)•1,3; 18)12,82+6,3•2,1
4)4,1•0,6+3,6; 9)6,7•2,3-10,6; 14)3,4•(8,7-4,6); 19)(3,7-2,4)•1,7
5)(3,7-2,4)•1,7; 10)4,14-1,4•0,7 15)0,9•7,02-0,258 20)3,4•(8,7-4,6)

Пример №1. 5 кл. Тема «Периметр прямоугольника»
Семья Димы летом переехала в новый дом. Им отвели земельный участок прямоугольной формы. Папа решил поставить изгородь. Он попросил Диму сосчитать сколько потребуется штакетника, для изгороди, если на 1 погонный м. изгороди требуется 10 штук? Сколько денег потратит семья, если каждый десяток стоит 50 рублей.
Проблемная ситуация: нужно найти длину изгороди (периметр прямоугольника).

Задача . Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Решение.

Анализируя задачу составляем уравнение:
0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550
Ответ :1,55 кг воды.

Пример. 8кл. Тема «Площадь прямоугольника».

Родители решили поменять входную дверь и заказали в фирме изготовить металлическую дверь. Им предоставили платёжный документ, в правильности которого папа усомнился, а именно в стоимости покраски двери. Попросил своего сына самому рассчитать стоимость данной работы.

Проблемная ситуация : нужно знать площадь двери (площадь прямоугольника) . Причём норма краски на 1 кв.м и стоимость работы покраски 1кв.м даны в документе.

7 класс. Темы: «Построение треугольника по трем элементам», «Неравенство треугольника». Теорему о неравенстве треугольника ввожу при изучении темы «Построение треугольника по трем элементам», решая задачу на построение треугольника по трем его сторонам. Предлагаю ученикам построить с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами: а) 5см; 6см; 7см; б) 9см; 5см; 6см; в) 1см; 2см; 3см; г) 3см; 4см; 10см. Ребята работают самостоятельно и приходят к тому, что построить треугольник в последних двух примерах не удается.
Возникает проблема: «При каких же условиях существует треугольник»? Чертежи, полученные учащимися при решении этой задачи дают возможность легко сделать вывод: «Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон». Доказываем полученную теорему. 

Задачи на внимание 5-8 классы
У Гарри Поттера есть волшебные очки, в которых он видит все зеленое - белым, а все белое - зеленым.
Гарри посмотрел через эти очки на прямоугольник, изображенный справа.
Что он увидел?

Задача . Проверим продавца 
Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 3,45 шекеля, коробку творога стоимостью 3,6 шекеля,
6 пирожных и 3 килограмма сахара.
Когда кассир выбил чек на 29,6 шекеля, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку.
Как определил покупатель, что счет неверен ?
 

Пример. 8кл. Тема «Осевая и центральная симметрия».

а) Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К ?
б) Какие из следующих букв имеют ось симметрии : А, Б, Г, Е, О, F?

При решении сложных задач группы С ЕГЭ по математике иногда надо уметь сравнивать значения. При кажущейся простоте эти задачи порой вызывают большие трудности, так как не удается ограничиться банальным вычитанием или возведением в определенную степень. Что больше?

При кажущейся простоте трудно найти школьника, который сумел бы сразу решить эту задачу. Тогда надо предложить ему провести сравнение.
Намекнуть, что решение этой задачи такое же как в предыдущем случае. Попросить школьника усмотреть закономерность. Школьник должен обратить внимание на то, что основание во всех случаях на 1 больше, чем значение под логарифмом.
Один из способов решения этих двух задач – исследование функции

Пример№1. 7 кл. Тема «Формулы сокращённого умножения»
Вычисляем (2 х 5)²= 2² х5² = 100
(3 х 4)²= 3² х 4² = 9 х 16 = 144
(5 : 6)² = 5² : 6² = 25 : 36
(3 + 4)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 Попробуйте сосчитать по-другому.
( 3 + 4)² =7² = 49
Проблемная ситуация создана. Почему разные результаты?
( 3 +4)² ≠ 3² + 4²

Пример№1.8кл.Тема:«Квадратные уравнения»
Решить уравнение 3х2 + 2х – 1 = 0 , используя различные способы.
1 способ. По общей формуле .D = b2 – 4ac; D = 4 + 12 = 16 = 42 0 - уравнение имеет 2 корнях = = -1 ; 1/3. Ответ: -1; 1/3.2способ По формуле с чётным коэффициентом b .D1= ( b/ 2)2 – ac; D1= 1 + 3 = 4 = 22 0 – уравнение имеет 2 корнях = = -1; 1/3. Ответ: -1; 1/3.

3 способ. По теореме Виета х1 + х2 = - b ; х1 + х2 = -2/3;х1 * х2 = с ; х1 * х2 = -1/3 Значит х1 = -1 , х2 = 1/3. Ответ : -1; 1/3.4 способ. Из условия , если а + с = b, то х1 = - 1; х2 = - с / а а + с = 3 + ( -1 ) = 2 = b, значит х1 = -1; а х2 = 1/3. Ответ: -1 ; 1/3.( Записать и обвести в рамочку)если а + в + с = 0, то х1 = 1 , а х2 = с / а;если а + с = в, то х1 = - 1, а х2 = - с / а.

5 способ. Выделение полного квадрата.
3х2 + 2х – 1 =0 / :3;х2 + 2/3х – 1/3 = 0; ( х2 + 2* 1/3*х + 1/9 ) – 1/9 – 1/3 = 0;( х + 1/3 )2 – 4/9 = 0;( х + 1/3 – 2/3 ) ( х + 1/3 + 2/3 ) = 0;( х – 1/3 ) ( х + 1 ) = 0;х – 1/3 = 0 или х + 1 = 0 ;х = 1/3 х = -1. Ответ: -1; 1/3.

6 способ. Метод переброски старшего коэффициента 3х2 + 2х – 1 = 0; / *3 ( домножаем на старший коэффициент, чтобы первое слагаемое было полным квадратом )9х2 + 6х – 3 = 0; ( 3х )2 + 2* ( 3х ) - 3 = 0;Пусть 3х = t, тогда t2 + 2t – 3 = 0; t1 = 1, t2 = -3; 3х = 1; 3х = -3;х = 1/3, х = -1. Ответ: -1; 1/3.

7 способ. Приведение к виду ( f( x) )2 = ( g(x) )2 .3х2 + 2х – 1 = 0;4х2 – х2 + 2х – 1 = 0;4х2 = х2 – 2х + 1;( 2х )2 = ( х – 1 )2;|2х | = | х - 1 |;2х = х – 1 2х = 1 – х ;х = - 1, х = 1/3. Ответ: -1; 1/3.

8 способ. Разложение на множители способом группировки .3х2 + 2х – 1 = 0; 3х2 + 3х – х - 1 = 0;3х ( х + 1) – ( х + 1 ) = 0; ( х + 1 ) ( 3х – 1 ) = 0; х + 1 = 0 , 3х – 1 = 0; х = -1, х = 1/3. Ответ: - 1; 1/3.
9 способ. Уменьшение степени уравнения(слайд 12 презентации 2).Подбором находим, что х1 = -1 - корень уравнения. Разделим квадратный трёхчлен 3х2 + 2х – 1 на х + 13х2 + 2х – 1 = ( х + 1 ) ( 3х – 1 ) , х1 = - 1 , х2 = 1/3. Ответ: - 1; 1/3

10 способ. Графический.3х2 = -2х + 1.Строим в одной системе координат графики функций : у = 3х2 и у = -2х + 1.Абсциссы точек пересечения графиков функций - корни уравнения: х1 -1, х2 1/3.Это неточный способ решения уравнений.

7кл.Тема:«Решение задач»
 Задача 1. «Который теперь час?» –спросил Андрей у отца. «А вот сосчитай: до конца суток осталось втрое меньше того времени, которое прошло от их начала». Который час был тогда?
Решение 1 (арифметический метод).
Поскольку оставшаяся часть втрое меньше прошедшей , то время , составляющее сутки , можно разделить на 1+3 =4 части. Поскольку одна часть составляет 2464 =6 часов и втрое меньше прошедшей , то прошедшая часть суток составляет 24-6 = 18 часов.

Решение 2 (алгебраический метод).
Пусть x часов прошло от начала
суток, тогда (24 – x) часов осталось до
конца суток. Поскольку оставшаяся
часть втрое меньше прошедшей, то
получим уравнение x = 3 · (24 – x),
решив которое найдём x = 18 часов.

Пример. 5кл. Тема «Длина окружности».
Ещё древние греки находили длину окружности по формуле C = П*d.
d – диаметр окружности. Вопрос : что же такое П?
1.Опоясать стакан ниткой, распрямить нитку, длина нитки примерно
равна длине окружности стакана. Чтобы получить более точный
результат, нужно это проделать несколько раз.
Занесите данные в следующую таблицу:





2. Измерьте диаметр стакана линейкой. Данные занесите в табл.
3. Найдите значение П, как неизвестного множителя.
Исследование проведено. Проблема решена.

6 класс « Зоопарк » на координатной плоскости
Конь.
В начале координат стоит конь. Он ходит, как шахматный ( только не по центрам клеток , а по узлам координатной сетки; покрасьте узлы координатной сетки в шахматном порядке.
Опишите , записывая координаты точек , один из маршрутов коня из точки с координатами (0;0) в точку (-1;1).
Придумайте какой-нибудь маршрут из 5 ходов, начинающийся в точке (0;0) и проходящий через точки (5;0) и (3;4) с остановками в этих точках.
Может ли конь когда-нибудь попасть в точку (4,5;3) ?
Может ли конь попасть из точки (0;0) в точку (1;1) ровно за 1995 ходов?

Слон
В начале координат стоит слон. Он может ходить, как шахматный слон ( только не по центрам клеток , а по узлам координатной сетки).
Опишите один из кратчайших ( по числу ходов) маршрут слона из точки (0;0) в точку (5;-3). Почему меньшего числа ходов слону не хватит? Сколько таких кратчайших маршрутов?
Опишите маршрут из четырех ходов , начинающийся в точке (0;0) и проходящий ( в любом порядке) через точки (4;-2); (10;4) и (-1;3).
Можно ли из точки (0;0) попасть слоном в точку (1;0)?
Покажите , в какие точки можно попасть слоном из начала координат , а в какие – нельзя ( покрасьте их в разные цвета).
Если из (0;0) можно попасть в точку (x;y) , то за сколько ходов это наверняка удастся сделать?

Пример 1. 8кл.Тема:«Теорема Пифагора»
На охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и
одновременно в него выстрелили, причём стрелы достигли цели
одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с
одинаковой скоростью см. рис.

Проблемная ситуация возникает при построении математической модели практической задачи. Она рассматривается с помощью вопросов. Как на чертеже изображаются:
1) скалы?2) расстояние между ними?3) путь каждой стрелы?4) путь каждого охотника?5) что означает факт, что стрелы достигли цели одновременно?
Анализ задачи позволяет заключить, что на данном этапе задачу решить нельзя, так как невозможно использовать равенство отрезков ДС и СЕ, которые являются гипотенузами прямоугольных треугольников. Если бы зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была известной, то можно было бы в каждом треугольнике выразить гипотенузу через катеты и приравнять полученные выражения.

ВОЗНИКАЕТ ПРОБЛЕМА:
Существует ли зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике, и, если она существует, то как она формулируется?Для решения этой проблемы можно предложить учащимся задание по группам: Построить прямоугольные треугольники с катетами3 и 4, 12 и 5, 6 и 8, 8 и 15 и измерить гипотенузу. Результаты заносятся в таблицу. Далее выдвигаются и обсуждаются различные гипотезы.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?
Решение.
Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .
Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
(Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,
Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,
Х = 3,75.
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)
Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Способствует развитию познавательной активности, осознанности знаний, предупреждает появление формализма, бездумности.
Обеспечивает более прочное усвоение знаний;
Развивает аналитическое мышление.
Способствует сделать учебную деятельность для учащихся более привлекательной, основанной на постоянных трудностях.
Ориентирует на комплексное использование знаний.
Приучает учащихся сталкиваться с противоречиями, разбираться в них, искать решение.

Значительно большие расходы времени на изучение учебного материала;
Недостаточная эффективность их при решении задач формирования практических умений и навыков, особенно трудового характера, где показ и подражание имеют большое значение
Слабая эффективность их при усвоении принципиально новых разделов учебного материала, где не может быть применен принцип апперцепции (опоры на прежний опыт);
При изучении сложных тем, где крайне необходимо объяснение учителем, а самостоятельный поиск оказывается недоступным для большинства школьников.