Презентация "Теория вероятностей"

Халфина Елена Анатольевна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
МБОУ «СШ №29» г. Нижневартовска
ХМАО-Югры

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях.

Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Под влиянием поднятых и
рассматриваемых ими вопросов
решением тех же задач занимался и
Христиан Гюйгенс. При этом с
перепиской Паскаля и Ферма он
знаком не был, поэтому методик
решения изобрёл самостоятельно.
Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей, вышла в печатном виде на 25 ЛЕТ раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемый закон больших чисел. Он гласит: явления, вероятностные при их малом числе, при большом количестве становятся закономерными, при очень большом – неизбежными.

Одним из основных понятии теории вероятностей является понятие события.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определённого комплекса условии, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или оной результат. Испытание (опыт) может быть осуществлено человеком, но может проводится и независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя.

СЛУЧАЙНОЕ -



НЕВОЗМОЖНОЕ -



РАВНОВОЗМОЖНЫЕ -





ДОСТОВЕРНОЕ -

событие, которое может произойти, а может и не произойти.

событие, которое в данных условиях (опыте) не может произойти.

события, любое из которых не обладает никаким преимуществом появляться чаще при многократных испытаниях

событие, которое при данных условиях всегда произойдет

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов для события А к числу всех равновозможных исходов.

- формула Лапласа

n - число равновозможных исходов
k - число благоприятных исходов события А

Пример.
Андрей, Роман, Денис и Василий бросили жребий, кому быть вратарем. Найти вероятность того, что вратарем стал Роман.

Решение:
Пусть событие А= {вратарем стал Роман}
Число благоприятных исходов k=1
Общее число возможных исходов n=4
По формуле классической вероятности получаем:

Ответ: 0,25

Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпадает не менее 4 очков?

Решение:
Бросаем игральный кубик один раз – 6 исходов. Значит, у данного действия (бросание одного игрального кубика 1 раз) всего имеется n=6 возможных исходов.
Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6.
Значит, k = 3 – число благоприятных исходов.
По формуле классической вероятности имеем:

Ответ: 0,5

Специальная формула вероятности, адаптированная для решении задач с монетами
Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти

по формуле: , где

2n - число всех возможных исходов,
Cnk — число сочетаний из n элементов по k,

которое вычисляется по формуле:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение.



Ответ: 0,125

Два случайных события называются НЕСОВМЕСТИМЫМИ,
если они могут произойти одновременно при одном и том же исходе испытания.

Формула сложения для несовместимых событий:

Событие В называется
НЕЗАВИСИМЫМ от события А,
если появления события А не изменяет вероятности события В.

Формула умножения вероятностей для независимых событий:

Теория вероятности изучает лишь такие события, в отношении которых имеет смысл не только утверждение об их случайности, но и возможна объективная оценка относительной частоты их появления.

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающая его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.
Оказывается, иногда этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть, например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем
Где S g и S G – соответственно площади областей g и G.
Фигуру g называют благоприятствующей (благоприятной) событию А.

Источники информации
 1. Статья «Теория вероятностей материал»http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E2%E5%F0%EE%FF%F2%ED%EE%F1%F2%E5%E92. Статья «Вероятность события» http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html3. %2Fwww.otoys.ru%2FpicturesNew%2Fsafsof%2Fb_FD-01%28C%29.jpg