Презентация урока

Цилиндр, его понятие и свойства

На тему:
Тела вращения, цилиндр его понятие и свойства.

Понятие цилиндра

О1

О

А

А1

М1

М

α

β

Ось цилиндра

L1

L

1. Цилиндрическая поверхность:
Отрезки перпендикулярных прямых к плоскости α, заключенные между плоскостями α и β и проведенными через каждую точку окружности L, образуют цилиндрическую поверхность АА1, ММ1 – образующие цилиндрической поверхностям О и О1 – центры окружности ОМ и О1М1 – радиусы окружности.

2. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром.

Цилиндрическая поверхность – поверхность цилиндра, круги – основания цилиндра, прямая ОО1 – ось цилиндра.
Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями α и β: АА1II ММ1 и АА1 = ММ1
Длина образующей – высота цилиндра, радиус АА1 = Н и ОМ = r.

Основание Y

Основание Y

О1

С1

О1

Сечение плоскостью перпендикулярной к оси цилиндра. Сечением является круг.

Сечения цилиндра

С

D

В

А

О

О1

Сечением является прямоугольник, две стороны – образующие, две другие диаметры цилиндра.

АВСD – сечение осевое
АВ = СD = L (образующие)
ВС = АD = d (диаметр)

С

D

В

А

Прямым круговым цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.

α

А

В

В1

А1

О1

О

Касательная плоскость цилиндра – это плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенная через эту образующую.

α

(АВВ1А1)

2πr

А

А1

В

В1

Н

РАЗВЕРТКА

Развертка цилиндра - прямоугольник и является боковой поверхностью.

Площадь боковой поверхности цилиндра есть площадь её поверхности.

Sпр АВВ1А1 = АА1 * АВ
Sбок = 2πr * Н

Произведение длины окружности на высоту.

Sпол – сумма площадей боковой поверхности и двух оснований

Sцил = 2πr2 + 2πr * H = 2πr( r + H)

Sосн = πr2 =>

Задача №1.

Дано: АС = d = 5 см; ВАС = 45о

<

Найти: Sцил.

Решение:

45о

А

В

С

О

Δ АВС – прямоугольный
ВАС = 45о => ΔАВС – равнобедренный, значит АВ = ВС = 5, Н = 5
т.к. АС = d, => АС = 2R , R = 2,5
Sпол = 2πR (R + Н)
Sпол = 2πR * 2,5 (2,5 + 5) = 5π * 7,5 = 37,5π

<

Ответ: 37,5см

Задача №2

А

В

С

D

О1

О

R

Н

Дано: АВСD – осевое сечение; SАВСD = 10 м2;
Sосн = 5 м2

Найти: Н - ?

Решение:

S осн = πr2 = 5
S сеч = 2R * H = 10 => R = 10 : (2 * Н) = 5 : Н
πR2 = 5
π * (5 : Н)2 = 5
Н2 = 5π
Н = 5π см

Ответ:

5π см.

Задача №3

О

О1

А

В

С

D

Н

Дано: АВСD ос. сечение, квадрат
АС = 20 см

Найти: а) Н - ?
б) Sосн - ?

Решение:

АВСD – квадрат по условию
Н = АВ, АD = АВ
По теореме Пифагора АС2 = 2АВ2 Н= АВ= АС2 : 2 =20 : 2 =10 2 (см)
R = 0,5АD = 0,5АВ = 5 2 (см)
Sосн = πR2;
Sосн = π * (5 2 )2 =50π (см)2

Ответ: Н = 10 2 см; Sосн = 50π см2