Презентация к уроку алгебра и начала анализа "Производная" (10 класс)

ПРОИЗВОДНАЯ МАОУ СОШ № 13 города Тюмени

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математического анализа, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ – это нахождение производной функции.

Приращение функции и приращение аргумента y f(x)=f(x0+∆ x) ∆f f(x 0) y=f(x) приращение аргумента: ∆х = х ­ х0                        (1) Приращение функции : ∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2) ∆f = f(x)-f(x0) (3) x x =x0+∆x Дана функция f(x) Т.е., значение функции изменилось на величину В окрестности Первоначальное Пусть х0- Расстояние между Функция f(х) тоже f(x)-f(x0)= f(x0 +∆x)- фиксированная точки х0 возьмём значение аргумента точками х и х0 примет новое f(x0),КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ точка, f(х0)- точку х получило приращение обозначим ∆х.Оно значение: f(x0+∆x) ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И значение функци в ∆х, и новое значение х называется ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f точке х0 равно х0+∆х приращением аргумента и равно разности между x0 ∆x

Определение производной Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:   xf xf ( 0 )  lim  Ox xf ( 0  x )  x f ′(x) = lim∆f ∆x ∆x→ 0

Алгоритм нахождения производной 1.Зафиксировать значение х0, найти f(x0). 2.Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х). 3.Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆f ∆х ∆х) – f(x0). ∆f ∆х ∆x→0 4.Составить отношение . 5.Вычислить lim . 6.Этот предел и есть f ′(x0).

y Геометрический смысл производной y=kx+b А α y=f(x) x

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть тангенс угла наклона касательной в , или угловой некоторой точке х коэффициент касательной  y   x  xf ( 0 tg )  k

Физический смысл производной Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t). Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t. v(t) = s ′(t)

Правила дифференцирования 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v)′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu)′ = С∙u′

Правила дифференцирования 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем 4. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем u′v – uv′ (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′ u(x) v(x) ( )v u ′ = v 2

Производная сложной функции (f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′ (x)