Презентация к уроку алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения ».

«Квадратные  уравнения»

Определение квадратного уравнения Уравнение вида 2 ax  bx  0 c   где х – переменная,    а, b и c – некоторые числа,    причем а  0 называется квадратным уравнением     2

Квадратные уравнения Полные Неполные

Неполные  квадратные уравнения: аx2 + bx = 0 аx2 + c = 0 аx2 = 0

Объяснение нового  материала  Полные квадратные уравнения: аx2 + bx + c = 0 решаются   с помощью  дискриминанта (D)

Формула корней  квадратного  уравнения

ах2 + bх + с = 0 Выпишите коэффициенты a, b, c Дискриминант D = b2­ 4ac D > 0 D = 0 D < 0 Два корня Х1, 2  = ­ b ±  2а D Один корень Х = ­ b 2а     Уравнение  не имеет действительных корней

Примеры 1. Сколько корней имеет уравнение? 1. Сколько корней имеет уравнение?  01 1  x 72 x Решение: Решение:  ,7 ,1 b с a  42 bD ca  D 72 49 4 53  14 1 0D Ответ:     2 корня Ответ:

2. Имеет ли корни уравнение? 5 2 x  x 02 Решение: Решение:   ,1 ,5 2 c b a  42 ca bD D 12 1254 0D Ответ:   корней нет корней нет Ответ:        40  39

1. Решить уравнение 12 2 x  x 7  01 Решение: Решение: bD a  ca D 42  b  2 a  D b  2 a  x 1  x 2   ,12 c b D 49 1 4 1 3  1 1124  6 24  8 24 ,7 72  7  122  7  122 x 2 x 1   1 1    48  1 Ответ: Ответ:   x 1  1 4 , x 2  1 3

2  x Решение: Решение:  0 x 12  b D ( 2. Решить уравнение 36  36  144 3614  )12 12  12 2  )12 12  12 2 ,12 c 2 )12   ( a  ca D 42  b  2 a  D b  2 a   6  6 x 1  x 1   ( x 2 bD x 2  ,1 144  0 0 0 Ответ: Ответ:   2,1 x 6   11

3. Решить уравнение 23  c 23  x 25  b ,7 ,25 7 2 x Решение: Решение:  0 42 a  ca bD D )25 ( D 2 23  19  74 0 625  644  19 Ответ: Ответ: корней нет

Самостоятельная работа. •Реши уравнения: 2 2 x x 10 2 x   x  2    9 0 18 x  x 4 21 0  30 x 20  08 2 x  0

1. Решить уравнение 18  x 92  0 x ,1  b D 81 72  9 ,9 c 92  9  12  9  12  x 1 x 2 18 1814  9  9   6 2 12 2  3  6 Решение: Решение: bD a  ca D 42  b  2 a  D b  2 a  x 1  x 2  Ответ: Ответ:   x 1  x ,3 2  6

2. Решить уравнение 21  42  0 x x b  ,1 D ,4 2 )4(   c 21  (14  )4( )21 100 x 1  84 100  7   12   12 16 14 2 6 2   x 2  )4( 100   3 Решение: Решение: bD a  ca D 42  b  2 a  D b  2 a  x 1  x 2  Ответ: Ответ:   x 1  x ,7 2  3

3. Решить уравнение 20 10 2 x 30  0  x Решение: Решение: bD a  ca D 42  b  2 a  D b  2 a  x 1  x 2   b  ,30  302  20 20 100 ,10 D  900  20 20 40 20 c 104   102   102 x 2 x 1  30 100    30   1 2 800  100 Ответ: Ответ:   x 1  x ,1 2  2

x Решение: Решение: 4. Решить уравнение  08  c 8  22 x  b ,1 a  ca bD ,2 42 D 2 )2( D  4814 28  32 0 28 Ответ: Ответ: корней нет

Алгоритм решения квадратного  уравнения: ах²+вх+с=0 Определить  коэффициенты а,в,с Вычислить дискриминант D=в²­4ас Если D<0, то Если D=0, то Если D>0, то Уравнение не  имеет корней   1 корень 2 корня х х  в  в   2 а 2 а х х 2,1 2,1   D D   в в а 2 2 а

Это интересно (дополнительные  сведения о нахождении корней  квадратного уравнения в особых  случаях):

1 случай Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то х1=1; х2=с/а.  Запомните! Если сумма  коэффициентов  квадратного уравнения  равна 0, то один из  корней этого уравнения  равен 1, а второй –  отношению  коэффициента  с к  коэффициенту а.

Из  списка  уравнений  выберите  те,   которые  решаются  с  помощью  этого   свойства. 2 2 х 3 х   2 х 3 х 2 х  ;03 8 х  ;05 4 х  2 ;0 х   6 ;3 х  56 х ;0 2  х 2   8 ;4 4 х х    2 8 26 ;0 х  х 7 ;6 х  2 3 ;0 х х  7 .35 х 2

Выполните  самостоятельно: Вариант 1 Вариант 2 2 х 2 2 х  2 2 х 1 2 х 4  х  15 16 0  х 0 3    3,0 0 х 7,1 3 4 3 х   4   2 х 5 2 х 5 2 х 1 2 х 3    24 23  х 0  х 6  4,46,0 х   0 0 х  3 2 3  2

Проверьте ответы: Вариант 1. 1.  1 и ­16 2. 1 и ­1,5 3. 1 и  ­0,15 4. 1 и  ­16  Вариант 2.  1 и ­24  1 и ­1,2  1 и ­0,12  1 и ­9

2 случай.  Если a­b+c=0, то х1=­1; х2= ­с/а Например: 4 2 x  x 11  07 x 1  x ,1 2   7 4

Решить уравнение 319 2 x  1988 x  1669  0   ;1 1669 319 . x 1 x 2

1. 313 2 x  326 x  13 0 2. 839 2 x  345 2 x  448 137 x x    0 391  208 0 3. 939 2 x  978 x  0 39 4.    ;1  13 313 ;1  391 839 ;1  208 345  39 939  ;1

3 случай  Нахождение корней приведенного квадратного  уравнения: х²+px+q=0.  здесь полезно  воспользоваться формулой: х 2,1  р 2/  ( р )2/ 2  q

Формула запоминается  надолго, если выучить ее  в стихотворной форме:

2  q р 2/ (   Стихотворение для запоминания  формулы  )2/ х р 2,1 «Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минуc­плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

Из истории решения квадратных  Из истории решения квадратных  уравнений. уравнений. • Уравнения 2­ой степени умели решать  еще в Древнем Вавилоне во II  тысячелетии до н.э. Математики  Древней Греции решали квадратные  уравнения  геометрически; например,  Евклид – при помощи деления отрезка в  среднем и крайнем отношениях. Задачи,  приводящие к квадратным уравнениям,  рассматриваются во многих древних  математических рукописях и трактатах.

Из истории решения квадратных  Из истории решения квадратных  уравнений. уравнений. • Формула корней квадратного уравнения  «переоткрывалась» неоднократно. Один из  первых дошедших до наших дней выводов этой  формулы принадлежит индийскому  математику Брахмагупте (около 598 г.).  • Среднеазиатский ученый ал­Хорезми (IX в.) в  трактате «Китаб  аль­джебр валь ­мукабала»  получил эту формулу методом выделения  полного квадрата с помощью геометрической  интерпретации.

Домашнее задание. Параграф 22,  №533,  №534 (1 столбик), №557 (а)