Презентация к уроку по теме «Логарифм, его свойства»

определите тему урока, решив  уравнения  3 4 3 • 2х =       ; 3х =       ; 5х = 1/125; 2х = 1/4; 2х = 4; 3х = 81; 7х = 1/7; 3х = 1/81     выход 1

Назовите новое понятие, с  которым мы познакомимся: З М Л Г Е Р Ф О И А 5 – 4 2/3 – 3 – 2/7 2 – 1 1/2 4 – 2     2

3

• Определение логарифма • Об истории развития логарифмов • Основные свойства логарифмов     4

2х = 16 х = 4; Уравнение ax=b, где a>0, a ≠  1, b>0  имеет единственный корень.  Этот корень называют логарифмом числа b по  основанию a и  ba log обозначают  2х = 5 х =  log2 5     5

Логарифмом положительного числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо  возвести число a, чтобы получить b.     6

Вычислите логарифмы и  обоснуйте ход решения • log 10 100 = 2, т.к. 102 = 100  (определение логарифма и свойства  степени),  • log 5 53 = 3, т.к. 53 = 53 (…), •                      т.к.  4 1  log4 1 4 1 4  1     7

Об истории развития логарифмов • Слово логарифм происходит от слияния греческих слов и переводится  как отношений чисел, одно из которых является членом  арифметической прогресс, а другое геометрической. Впервые это  понятие ввел английский математик  Джон Непер. Кроме того, этот человек известен тем, что он первый  изобрел  таблицу логарифмов, которая пользовалась большой  популярностью среди ученых на протяжении долгих лет.В таблицы  Непера, изданные в книгах под названием «Описание удивительной  таблицы логарифмов» и «Устройство удивительной таблицы  логарифмов», вошли значения логарифмов синусов, косинусов и  тангенсов углов  от 0 до 99 градусов. • Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г.  английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с  помощью выведенной Бриггсом формулы. • Изобретатели логарифмов не ограничились созданием  логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623  г.  Английским математиком Гантером была создана первая  логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для  многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения  логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования  BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные  логарифмы чисел     8

Слово ЛОГАРИФМ                                происходит от греческих  слов   ­ число   и     ­ отношение • Первые таблицы логарифмов назывались  • «Описание удивительной таблицы  логарифмов»  (1614 г.)   и  • «Устройство удивительной таблицы  логарифмов»  (1619 г.)     9

Джон Непер                  1550­1617 Потомок старинного воинственного шотландского рода.  Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику.  Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько  полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590­х годах  пришел к идее логарифмических вычислений и составил  первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд  "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал  лишь в 1614 году.  изобретена логарифмическая линейка, счетный инструмент,  использующий таблицы Непера для упрощения вычислений.  С помощью логарифмической линейки операции над  числами заменяются операциями над логарифмами этих  чисел.  В конце 1620­х годов была      10

Логарифмическая линейка     11

В записи b=at число a является основанием  Логарифмом  степени, t ­ показателем, b ­ степенью.  положительного числа по  Число t ­ это показатель степени, в которую  b основанию a, где a>0,  надо возвести основание a, чтобы получить  число b. Следовательно, t ­ это логарифм  a ≠  1 называется  показатель степени, в  которую надо возвести a,   Подставляя в равенстве t=logab выражение  b в виде степени, получим еще одно  чтобы получить число b.  числа b по основанию a:  t=logab. тождество:  logaat=t.      12

Можно сказать, что формулы at=b и t=logab  равносильны, выражают одну и ту же связь  между числами a, b и t (при a>0, a  1, b>0).  Число t ­ произвольно, никаких ограничений  на показатель степени не накладывается.  Подставляя в равенство at=b запись числа t в   виде логарифма, получаем равенство,  называемое  основным логарифмическим тождеством:  baalog                             =b .     13

Вычислите •                                            (степень степени,   2 )3( 27 ) 49 3(  7 log log 2 3 7 3 основное логарифмическое тожество,  определение степени), 2 3  9 23 ) 7(  log2 7 log 3 7 7     14

вычислите следующие задания  а) log 153 + log 155 = …,  б) log 1545 – log 153 = …,  в) log 48 =…,  log 7  г 7) ... 2     15

№ Название свойства  Свойства логарифмов 1. 2. 3. 4. 5. 6. логарифмов Логарифм единицы Логарифм  основания Логарифм  произведения Логарифм частного Логарифм степени Формула перехода к  новому основанию   loga1=0.         a>0.       a≠1 logaa=1.         a>0.       a≠1 logа(xy)= logах+ logа y, а>0,  а1, х>0. y>0.  logax/у= logax­ logaу. а>0, а1,  х>0. y>0.   logaxn= n logax   x > 0, a > 0,  a  1, n   R.                                             a1, b1,  log                            a>0, b>0,                                x > 0 log log x a b b x a   16

Свойства логарифмов • Если число, стоящее под знаком  логарифма, и основание логарифма  равны, то логарифм равен единице, и  обратно, если логарифм равен  единице, то число и основание равны.  logaa=1  • Логарифм единицы по любому  основанию равен нулю, т.е. logа1=0.  Верно и обратное     17

• Логарифм произведения нескольких  положительных чисел по данному  основанию равен сумме логарифмов  этих чисел по тому же основанию. Logа(xу)= logах+ logау  , а>0, а1, х>0,  у>0.  • Логарифм частного положительных  чисел равен разности логарифмов  делимого и делителя взятых по тому же  основанию.              logax/у= logax­ logaу      18

• Логарифм степени какого либо  положительного числа равен  логарифму этого числа, умноженному  на показатель степени   logaxn= nlogax  *При возведении основания в некоторую  (не нулевую) степень логарифм  делится на этот показатель степени: log an x  1 n log a x     19

• Формула перехода к новому основанию.                                                                        ,a1, b1, a>0, b>0.  log  x a log log b b x a *Если число и основание лежат по одну  сторону от единицы, то логарифм  положителен; если число и основание лежат  по разные стороны от единицы, то логарифм  отрицателен      20

1. Найдите логарифм числа 64 по основанию 4. • Решение:   log464 = 3, так как 43 = 64. Ответ: 3 • Решение:  log5x = 2, 2. Найдите число x, если log5x = 2 x = 52 (по определению логарифма),  x = 25. Ответ: 25. • Решение:  log31/ 81 = x, 3. Вычислить: log31/ 81 = x, 4 log55 4. Вычислить:  3x = 1/ 81,  x = – 4. Ответ: – 4. • Решение: log55                = 4, по основному логарифмическому тождеству  Ответ: 4. 4 a ba log b     21

• 1. Вычислить: log612 + log63  Решение: log612 +log63 = log6(12*3) = log636 = log662 = 2  Ответ: 2.  • 2. Вычислить: log5250 – log52. Решение: log5250 – log52 = log5(250/2) = log5125 = 3 Ответ: 3. • 3. Вычислить:  Решение:             =  Ответ: 8.  log 3 log3 3  8 27 log3 2 2 3 log3 2 27 8 3     выход 22

Домашнее задание  • §§ 15,16, прочитать • Знать конспект • § 17 записать определения •  Выполнить № 276, 281,2934.      23

Презентация к уроку по теме  «Логарифм, его свойства»     24