Презентация ОГЭ-2018 Модуль "Геометрия" Задание 15

МБОУ СШ № 1 имени Героя Советского Союза Кузнецова Н. А.  города Чаплыгина Липецкой области Подготовка к ОГЭ по математике. Задание 15.  (По материалам сайта Д. Гущина и  сборников И. Ященко)    Автор презентации – учитель математики Щеголева О. П. 2018

Задание 15    Задание № 15  ­ это несложная планиметрическая задача с  практическим содержанием.  Основные теоремы, понятия, определения:  • в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов  катетов; • если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника,  то такие треугольники подобны; • если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам  другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то  такие треугольники подобны;  • коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного  треугольника больше сторон другого треугольника;

Задание 15    • косинусом острого угла прямоугольного треугольника  называется  отношение прилежащего катета к гипотенузе; • синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение   противолежащего катета к гипотенузе; • тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение   противолежащего катета к  прилежащему катету; • средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника  и  равна её половине; • средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их                                                                                                           полусумме; • стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов  с  коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной  окружности;

Задание 15    •  стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов  с  коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной  окружности: • квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон  без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Задание 15    Разбор типовых заданий  1) Какой угол (в градусах) образуют минутная  и часовая стрелки часов в 18:00? Решение.  стрелки образуют развернутый угол, а он равен 180°.      Ответ: 180. 2) Какой угол (в градусах) описывает минутная  стрелка за 4 минуты? Решение. Сначала найдем, сколько в одной  минуте градусов. Так как в круге 60 минут и 360 градусов, то  360 : 60 = 6 градусов – в одной минуте, а в 4 минутах:  6 • 4 = 24  Ответ: 24. Для успешного решения задач такого типа надо запомнить,  что минутная стрелка за одну минуту поворачивается на 6  градусов. Разбор типовых заданий

Задание 15    3) На какой угол (в градусах)  поворачивается  минутная  стрелка, пока часовая проходит 2°? Решение.  Минутная стрелка движется в 12 раз быстрее  часовой, поэтому она пройдет 24°.  Ответ: 24. 4) Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая  стрелки в 5 ч? Решение. Часовыми делениями циферблат разбит на 12 равных  центральных углов с градусной мерой 360 : 12 = 30 градусов.  Между минутной и часовой стрелками пять часовых делений. Они образуют угол 150°. Ответ: 150.

Задание 15    5) Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними  спицами равны. Найдите угол, который образуют  две соседние спицы. Ответ дайте в градусах. Решение. 18 спиц делят окружность колеса на 18 равных цен­ тральных углов, сумма которых равна 360°.  Поэтому  величина одного такого угла будет равна 360 : 18 = 20 Ответ: 20. 6) На рисунке изображено колесо с пятью спицами.  Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми  соседними спицами равен 15°? Решение. Колесо представляет собой круг. Количество спиц  совпадает с количеством секторов, на которые ими оно делится.  Так как развёрнутый угол 360°, а угол между спицами равен 15°,  имеем: 360:15=24. Поэтому в колесе 24 спицы.                                     Ответ: 24.

Задание 15    7) На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 7  часов? Решение. За сутки Земля совершает полный оборот, то есть  поворачивается на 360°. Следовательно, за один час Земля  поворачивается на 360° : 24 = 15°. Получаем, что за 7 часов Земля  поворачивается на 7 ∙ 15° = 105°. Ответ: 150. 8) Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина  участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах. Решение. Переведем площадь участка в квадратные метры:  9 га = 90 000 м2. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.  Поэтому, длина участка равна: 90 000 : 150 = 600 м. Ответ: 600.

Задание 15    9) Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь  которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ  дайте в метрах. Решение. Пусть x м — ширина участка, тогда длина  — 2x м. Так как  площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон,  то                     откуда  х=20.   Периметр прямоугольника Ответ: 120.   10) Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм  выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении  прямоугольник размером 30 см 40 см? Решение. Найдем объем доски: 350 ∙ 20 ∙ 2 = 14 000 см3. Найдем  объем балки: 1050 ∙ 30 ∙ 40 = 1 260 000 см3. Поэтому количество досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90. Ответ: 90.

Задание 15    11) Точка крепления троса, удерживающего флагшток в  вертикальном положении, находится на высоте 3,2 метра от  земли. Длина троса равна 4 метра. Найдите расстояние от  основания флагштока до места крепления троса на  земле. Ответ дайте в метрах. Решение. Так как на чертеже ­ прямоугольный треугольник,  применяем теорему Пифагора:   4² = 3,2² + x² 16 = 10,24 + x² x² = 16 – 10,24 x² = 5,76 x =  x = 2,4 метра  Ответ: 2,4. 76,5

Задание 15    При нахождении катета прямоугольного треугольника удобно  применять формулу разности квадратов. 4² = 3,2² + x² x² = 4²  –  3,2²  x² = (4  –  3,2)(4 + 3,2) x² = 0,8*7,2 x² = 0,8*0,8*9 x² = 0,8²*3²  х=0,8*3 х=2,4

Задание 15    12) Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное  плечо – 4 м. На какую высоту (в метрах) поднимается конец  длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м? Решение. Длинное плечо имеет длину 4 м,  короткое плечо – 1 м, поэтому треугольники  подобны с коэффициентом подобия  k = 4. значит, конец длинного плеча  поднимется на 0,5*4=2 м. Ответ: 2.

Задание 15    13) Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см,  расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком  наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно  расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью  освещён, если настройки проектора остаются неизменными? Решение. Заметим, что высота экрана,  расположенного на расстоянии 250 см,  в 2 раза меньше высоты экрана,  расположенного на искомом расстоянии,  значит, по теореме о средней линии,  искомое расстояние в два раза больше  первоначального экрана: 250∙2 = 500. Ответ: 500.

Задание 15    14) Две сосны растут на расстоянии 60 м одна от другой.  Высота одной сосны 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние  между их верхушками.   Решение: Ответ: 65.

Задание 15    15) Человек ростом 1,7 м  стоит на расстоянии 8 шагов от  фонаря. Длина тени человека равна двум шагам. На какой  высоте (в метрах)  висит фонарь?  Решение.  Сначала найдем расстояние (в шагах)  от фонаря до крайней точки тени:   4+8 = 12 шагов.  Прямоугольные треугольники  подобны с коэффициентом подобия k  = 12 : 4 = 3. Значит,  высота фонаря в 3 раза  больше роста человека 1,7 *3 = 5,1(м) Ответ: 5,1.

Ресурсы:     Сборники для подготовки к ОГЭ­2018 под редакцией И.В.  Ященко,  сайт Д. Гущина  https://oge.sdamgia.ru