Презентация по алгебре 9 класс "Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии"

Самостоятельная работа: 2. Найдите сумму первых 2. Найдите сумму первых В а р и а н т 2. 1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (ап),если а1= 70 и d = -3. сорока членов последовательности (bn), заданной формулой В а р и а н т 1. 1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( ап ), если а1= 15 и d = 3. шестидесяти членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 3n – 1. bn = 4n – 2.

Рассмотрите Рассмотрите последовательности и последовательности и выявите закономерности: выявите закономерности: а) - 3; - 5; - 7; - 9; … а) - 3; - 5; - 7; - 9; … б) - 2; - 4; - 8; - 16; … б) - 2; - 4; - 8; - 16; … в) 2; 4; 8; 16; 32; 64; … в) 2; 4; 8; 16; 32; 64; … г) 2; 6; 18; 54; 162… г) 2; 6; 18; 54; 162…

Определение геометрической прогрессии. прогрессии. Формула n-го члена геометрической

Цели урока: 1. Сформулировать определение геометрической прогрессии. 2. Вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии 3. Находить любой член геометрической прогрессии, его порядковый номер, используя формулу n-го члена и свойство геометрической прогрессии . 4

Пример: (b n): 2, 6, 18, 54, 162,... Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3: 2 · 3 = 6; 6 · 3 = 18 18 · 3 = 54 54 · 3 = 162. 5

Геометрическая прогрессия ––  это это Геометрическая прогрессия такая последовательность такая последовательность отличных от нуля чисел, которая отличных от нуля чисел, которая получается в результате получается в результате умножения каждого последующего умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не члена на одно и то же число, не равное нулю. равное нулю.

Последовательность (b (b nn) – ) – Последовательность геометрическая прогрессия, если для геометрическая прогрессия, если для любого натурального n n выполняется выполняется любого натурального условие: условие: bbnn ≠ 0 ≠ 0 и и bbn+1n+1 = b = bn n . q,. q, где где qq – некоторое число. – некоторое число. Выразим из формулы qq qq – знаменатель геометрической прогрессии – знаменатель геометрической прогрессии Знаменатель геометрической прогрессии – это Знаменатель геометрической прогрессии число, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену прогрессии. Его обычно обозначают буквой q. 7

Пример: (bn ) – геометрическая прогрессия. b1 = 1, q = 0,1. Найдите несколько первых членов этой прогрессии. b2 = b1 . q = 1 . 0,1 = 0,1 b3 = b2 . q = 0,1 . 0,1 = 0,01 b4 = b3 . q = 0,01 . 0,1 = 0,001 b5 = b4 . q = 0,001 . 0,1 = 0,0001

Вывод формулы n – первых членов геометрической прогрессии (bn ) – геометрическая прогрессия. Зная b1 и q, найдите последовательно первые пять членов этой прогрессии. b2 = b1 . q b3 = b2 . q = b1 . q . q = b1 . q2 b4 = b3 . q = b1 . q2 . q = b1 . q3 b5 = b4 . q = b1 . q3 = b1 . q3 . q = b1 . q4 bn = b1 . qn-1 - формула n-го члена геометрическойпрогрессии

Пример 1: В геометрической прогрессии, b1 = 2, а знаменатель q = 1,5. Найти 4-й член этой прогрессии. Дано: b1 = 2 q = 1,5 n = 4 Найти: b4 - ? Решение. Применяем формулу: bn = b1 · qn – 1, подставляя в нее соответствующие значения: b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75. Ответ: 6,75.

Пример 2: Найти пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192. b 3 b 1 Дано: b1 = 12, b3 = 192 Найти: b5 - ? Решение. 1)Найдем знаменатель геометрической прогрессии. В качестве первого шага с помощью формулы п- го члена запишем формулу для b3: b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2 Найдем знаменатель геометрической прогрессии: q  q             или             2) Найдем значение b5. Если q = 4, то b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072. При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение. 192 12 16  q 2  16 ;4  ;16 ;4

Свойства геометрической прогрессии 2 = bn-1 · bn+1 1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него: bn  Доказательство. (bn ) – геометрическая прогрессия. bn = bn-1 . q, bn+1 = bn . q все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то bbnn 11 · b · bn+1n+1 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией 22 = b = bn-n- b n b n  1   1 b n b n

Пример: Вернемся к геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162,... Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат: 542 = 2916. Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54: 18 · 162 = 2916. Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

Вывод  a n q b 1 n b n d  1 a n • d>0d>0 арифметическая арифметическая прогрессия прогрессия возрастающая возрастающая • d<0d<0 арифметическая арифметическая прогрессия прогрессия убывающая убывающая • q > 1q > 1 геометрическая геометрическая прогрессия прогрессия возрастающая возрастающая • 00 < q < 1 < q < 1 геометрическая геометрическая прогрессия прогрессия убывающая убывающая

Формула nn­го члена прогрессии ­го члена прогрессии Формула  Пусть заданы b1 и q b2= b1∙ q b3= b2 ∙ q= b1 ∙ q ∙ q=b1 ∙ q2 b4=b1 ∙ q3           Пусть заданы а1 и d а2=а1+d a3=a2+d=a1+d+d=а1+2d a4=a3+d=а1+3d ……………………………..           an=a1+(n­1)d    ……………………………………………..  bn=  b1 ∙ qn­1 Чтобы задать Чтобы задать арифметическую геометрическую прогрессию, достаточно указать её прогрессию, достаточно указать её первый член и первый член и разность знаменатель

Работа в тетрадях Задание 1.  Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия b1= 5 q = 3 Найти: b3 ; b5. Решение: используя формулу bn = b1 q n-1 b3 =b1q2 = 5 . 32 =5 . 9=45 b5 =b1q4 = 5 . 34 =5 . 81=405 Ответ:45; 405. Решение

Работа в тетрадях Задание 2. Дано: (bnn ) ­ геометрическая прогрессия  b4= 40    q = 2      Найти: b1.  Решение: используя формулу bn = b1 q n­1 b4 =b1q3 ; b1 = b4 : q3 =40:23  =40 :8=5                             Ответ: 5.  Решение

Работа в тетрадях Задание 3. Дано: (bn ) ­ геометрическая прогрессия  b1= ­2,   b4=­54. Найти: q.  Решение: используя формулу bn = b1 q n­1 b4 =b1q3 ; ­54=(­2) q3;    q3= ­54:(­2)=27;  q=3                            Ответ: 3.  Решение

Подготовка к ГИА Подготовка к ГИА       Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что одна из этих последовательностей не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией. Укажите её. А. 1; 2; 3;… Б. 1; 2; 4;… В. 1; 4; 16;… Г. 1; 4; 9;…

Подготовка к ГИА Подготовка к ГИА       Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что одна из этих последовательностей не является геометрической прогрессией. Укажите её.               ­3; 1;      ;…           ­3; ­9; ­27;…           ­3; 5; ­7;…           ­3;      ;­1   ;  … 1 3 3

Подготовка к ГИА Подготовка к ГИА • Последовательности (an), (bn), (cn)        заданы формулами n­го члена.        Поставьте в соответствие каждой       последовательности верное    утверждение. ФОРМУЛА   А)  Б)   na bn n 34 9  n 3 cn 8 2  n 3 В)  А 2 Б 1 В 3 УТВЕРЖДЕНИЕ УТВЕРЖДЕНИЕ 1)1)Последовательность – Последовательность – арифметическая арифметическая прогрессия прогрессия 2) Последовательность – 2) Последовательность – геометрическая геометрическая прогрессия прогрессия 3) Последовательность не 3) Последовательность не является ни является ни арифметической, арифметической, ни геометрической ни геометрической прогрессией прогрессией

Домашнее задание