Презентация по алгебре и началам анализа 12 класс "Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Простейшие свойства логарифмов

Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Простейшие свойства логарифмов Урок подготовила и провела Егорова Л.Г.- учитель математики МАОУ В(С)Ш №13 Города Тюмени 12.10.2016 г.

Число 12 считается идеальным числом, оно означает мировую гармонию и порядок. В зодиаке – 12 знаков- животных, на Олимпе – 12 Богов, в сутках 12 часов дня и 12 часов ночи.

Основание степени an Показатель степени х = 2 х = 0 х = - 3   х

=16 = 2 = 2 a = = 8 ах= b

Основное логарифмическое тождество. Простейшие свойства логарифмов.»

Задачи сегодняшнего урока: Ввести понятие логарифма. Установить связь между степенью и Научиться вычислять логарифмы чисел. логарифмом. Дать определение логарифма. Записать простейшие свойства логарифмов.

21 2 22 4 23 8 24 25 16 32 26 64

21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 log2 2 =1 log2 4 = 2 log2 8 = 3 log2 16 = 4 log2 32 = 5 log2 64 = 6

Логарифмом числа b  по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. a log ,   a , 1  b ,  b 0 c b a , 0  c a

Прочитать логарифмы log5 6 log4 4 log 2 1 2 log3 81 log9 81 log 2 3 log7 243 log a6

Изобретение логарифмов тесно  связано с развитием в XVI веке  производства и торговли,  астрономии и мореплавания,  требовавших  усовершенствования  методов вычислительной  математики.     Все чаще требовалось производить  громоздкие действия  над  многозначными числами, все точнее  и точнее  должны быть результаты  действий. Наибольшие проблемы  возникали, как нетрудно понять,  при выполнении операций  умножения и деления.  Слово «логарифм» происходит от греческих слов logoz - число и ariumoz - отношение. «отношения Переводится как чисел», одно из которых является арифметической членом прогрессии, а геометрической. другое – 12

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов» П.С. Лаплас

Основное логарифмическое тождество a log ba  b

Свойства, следующие из определения a  1 . a 0 a .1 log aa log aa ;1 ;1 log a ;01

Десятичный логарифм - это логарифм по основанию10 Обозначение:  log b lg 10 b

Вычислить: log.6 2 log.8 log.9 1 2 1 2  1 8 32 1 64   1 3 27 1 log.11 3 log.13 1 3 log.15 1 3 log.1 2 16 2 1 1 2 16  2 log.3 log.4 2 2 log.5 log.7 1 2

1)log9 81 ; 5)log 4; 2)log 6)log4 3)log 31;4)log5 5 ; 7)lg100; 8) 9)log64 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 № задан ия Ответ 2 4 0 1 -2 -1 2 5

Логарифмы в биологии В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога. Задача №5 В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Логарифмы в химии и биофизике Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются? Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах. В химии эту пометку принято называть водородным показателем. же он За что отвечает? Водородным показателем pH называется отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода. Переводя на доступный язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень кислотности среды. С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен Радиоуглеродный анализ.

Логарифмы в географии «Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления» Колмогоров. А.Н Для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Покажем, как в таких расчетах применяются логарифмы. По данным газеты «Зори» от 12 апреля 2011 года из доклада П. Е. Шишкина население в городе Старый Оскол за один год Через сколько лет население этого города увеличится в увеличилось с 256100 человек до 257135 человек 1,5 раза? Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Зависимость давления атмосферы р ( в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой p=76*2,7-h/8. Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высота которой 5,6 км?

Другой пример из расчётов прироста производства древесины. Задача. Лесной участок содержит 6500 древесины. Сколько будет древесины на этом участке через 10 лет, если ежегодный прирост леса составляет в среднем 2%? Мы не исчерпали всех примеров применения логарифмов, поскольку это сделать просто невозможно. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии , в составлении прогнозов погоды и т.п.

Раковины многих моллюсков,  улиток закручены по  логарифмической спирали.  25

По логарифмической спирали  закручены рога таких  млекопитающих, как архары  (горные козлы), клювы  попугаев  Можно сказать, что эта  спираль является  математическим  символом соотношения  формы и роста.  26

По логарифмической спирали  очерчены не только  раковины. Один из  распространенных пауков,  эпейра, сплетая паутину,  закручивает нити вокруг  центра по логарифмическим  спиралям. 27

В подсолнухе семечки расположены по дугам близким к логарифмическим спиралям. Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

Почему хищник кружит над добычей?  Мы так привыкли, что хищник кружит  над своей добычей, что не только не  задаемся вопросом, почему он это делает,  но и в большинстве случаев, не замечаем,  что на самом деле он выписывает  функцию, называемую логарифмической  спиралью. Тайна того, почему хищные птицы в  большинстве случаев летают именно по  спирали, была открыта американцем  Тукером. Согласно его заявлению, они  делают это, чтобы максимально  использовать их острое “поперечное”  зрение. 29

В гидротехнике по логарифмической спирали  изгибают трубу, подводящую поток воды к  лопастям турбины. Благодаря такой форме  трубы потери энергии на изменение  направления течения в трубе оказываются  минимальными и напор воды используется с  максимальной производительностью.  Пропорциональность длины дуги спирали  разности длин радиус – векторов используют  при проектировании зубчатых колес с  переменным передаточным числом. 30

Дело в том, что в технике часто применяются  вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на  разрезаемый материал, зависит от угла резания,  т.е. угла между лезвием ножа и направлением  скорости вращения. Для постоянного давления  нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное  значение, а это будет в том случае, если лезвия  ножей очерчены по дуге логарифмической  спирали.  31

Звёзды, шум и логарифмы. Этот заголовок связывает, столь  казалось бы, несоединимые  вещи. Шум и звёзды  объединяются здесь потому,  что громкость шума и яркость  звезд оцениваются одинаковым  образом – по логарифмической  шкале. 32

По логарифмической  спирали закручены и  многие галактики, в  частности Галактика,  которой принадлежит  Солнечная система. Галактика млечный путь ­  типичная спиральная галактика. 33

Астрономы распределяют звезды по степеням  видимой яркости на светила первой, второй,  третьей и т.д. звездной величины. Физическая яркость звезд составляет  геометрическую прогрессию со знаменателем  2,5. Поэтому «величина» звезды представляет  собой не что иное, как логарифм ее  физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном  оперирует  с таблицей логарифмов, составленной  по основанию  2,5 34

Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», практически — его десятая доля, «децибел». Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим несколько примеров: тихий шелест листьев оценивается в 1 бел; громкая разговорная речь — в 6,5 бела; рычанье льва — в 8,7 бела; удары молотка о стальную плиту - в 11 бел; самое шумное место – Ниагарский водопад – в 9 бел. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 316 000 раз; Львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в 158 раз.

Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Случайность ли то, что при оценке видимой яркости светил и при изменении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью; между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, ученые пришли к выводу о том, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения. Здесь действует так называемый «психофизический закон Фехнера»: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии

Великий немецкий поэт  Иоганн­Вольфганг Гёте  считал  логарифмическую  спираль даже математическим  символом жизни и  духовного развития.  1749­1833 г.г. 37

Вычислите log2 log2 log 2/1 log5 64 2/1 32/1 625