Презентация по подготовке к ЕГЭ по математике. Задачи С.

Решение задач части С (планиметрия).

требуют развитого абстрактного мышления. Данная тема актуальна, так как подобные задачи Задачи С4 предполагают выполнение действий с геометрическими фигурами. Наглядное решение позволяет лучше усвоить приемы решения таких задач. Их особенностью является рассмотрение различных конфигураций геометрических фигур. вызывают у учащихся затруднения при решении. планиметрию. А так как изучение планиметрии заканчивается в 9 классе, то на уроках геометрии в 10 – 11 классах необходимо решать задачи повышенной сложности из планиметрии. Задачи, представленные ниже, очень часто Чтобы решить их, нужно хорошо знать

Задача 1 Прямоугольный треугольник разделен на два  треугольника. Перпендикуляром, опущенным из  вершины прямого угла на гипотенузу. В  образовавшиеся треугольники вписаны   окружности с радиусами  .12 r 1 Найдите радиус окружности, вписанной в данный   иr 5 2  треугольник.

Решение В D А С Обозначим радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВD и ВСD , r1 и r2 соответственно ( r1 = 5, r2 = 12 – по условию)

А АВD ~  СDВ   о1 В В D о2 С  D  , ВСD как углы Треугольники прямоугольные и АВD  со взаимно перпендикулярными сторонами. АВ Коэффициент подобия  ВС где t – некоторое число.  ,5 ВСt 5 12 r 1 r 2 k АВ   ,12 t

 АСВ АВD Они прямоугольные, А   ~ общий Из треугольника АВС по теореме Пифагора  25 t  2 144 t 2 АС  .13t АС D о1 А А r Коэффициент подобия равен  1 R В f R 13  r 1 5  .13 13 5 В АВ АС  о2  5 t 13 t 5 13 С , Ответ: радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 13.

Задача 2 Дан треугольник АВС со сторонами АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника окружность S. Точка D является серединой АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S в некоторой точке и отрезка описана стороны АС в точке D.

А 2k   D   O 1k С В

Треугольник АВС – прямоугольный, так как АС (169 = 144 + 25) – по условию. Центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности ВС АВ  ,2 2 2  S лежит на середине гипотенузы АВ и, следовательно, радиус этой окружности  R АВ 2  5,6 см . DO  1 2 ВС  5,2 см  средняя линия треугольника АВС.

Условию задачи удовлетворяют две окружности: с центром 1иkk Из рисунка видно, что  OD . 2 rRr 1 2  OD 2  2 см ,  R r 2 5,4 . см r 2 2 r 2 2 R 2 r 1 2 R  Ответ: r 1  5,4 ; см r 2  2 . см

Задача 3 • Найдите длины двух смежных сторон параллелограмма, если известно, что их сумма равна 8, а сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна 68.

Решение В А С D • Обозначим длины сторон параллелограмма • АВ = х, ВС = у, угол АВС = α, угол ВСD = β. Из ∆АВС по теореме косинусов: cosα (1) у  22 ху  2 АС 2  х

• Из ∆ВСD по теореме косинусов: • cosβ (2). • Так как α + β = 180 (по свойству   22 ху 0 BD  х у 2 2 параллелограмма) 0 • По условию х + у = 8 и • cosβ = cos (180 – α) = - cosα ( по х (2 формулам приведения). С учетом этого,  у после сложения равенств (1) и (2) получим:  ВD  .68 АС  BD АС  ) 2 2 2 2 2 2