Презентация по алгебре "Применение интеграла к решению задач физики" (11 класс)

Глава 8.  Первообразная и интеграл f(x) Ключевые слова: Первообразная Интеграл Интегрирование и дифференцирование Определенный интеграл Формула Ньютона­Лейбница Геометрический смысл интеграла Площадь криволинейной трапеции Применения определенного интеграла  dx  f(x) dx f΄(x)

Алгебра и математический анализ Алгебра и математический анализ ОБЪЕКТЫ ОБЪЕКТЫ функции функции яя Первообразная Первообразная производна производна Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка : F’(x)=f´(x) F’(x)=f´(x)

Основные понятия Основные понятия Дифференцирование и интегрирование – это операции, выполняемые над ……………………. Дифференцирование ……………………….. Нахождение интеграла от функции - это ………………… от Производная …………………………… Первообразная от производной функции равна ……………………. Поэтому и интегрирование - это взаимно ……. дифференцирование первообразной – это нахождение равна

Основные понятия Основные понятия • Слово интеграл от латинского integer – …..…. • Интегрирование – процесс ……… отдельных частей в целое. • Дифференцирование – процесс ………… целого на отдельные части. латинского - часть. • Слово дифференциал от )(f в dxx а

определенный определенный       интеграл интеграл        неопределенный неопределенный       интеграл интеграл        первообразная площадь криволинейной     площадь криволинейной     первообразная                                                                                                   И. Ньютон И. Ньютон Г. Лейбниц Г. Лейбниц  фигуры фигуры )( dxxf   хF  bF )(  )( aF b a S  b a

Геометрический смысл  Геометрический смысл  определенного интеграла определенного интеграла Интеграл от функции на  отрезке равен ………. ………  трапеции ) y  f(x S S в )(f dxx в а

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции.              Установи соответствие Установи соответствие               А Б В Г

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции.              Установи соответствие Установи соответствие               Д Е Ж

самые  «Сближение  теории  с  практикой  даёт  благотворные  результаты,  и  не  одна  только  практика  от  этого  выигрывает,  сами  науки  развиваются  под  её  влиянием,  она  открывает  им  новые  для  исследования или новые стороны в  предметах давно известных».                                    П. Л. Чебышев предметы  1821­1894  1821­1894  г.г.г.г.

Применение  Применение  определенного интеграла определенного интеграла техника техника экономи экономи кака биологи биологи яя ФИЗИКА ФИЗИКА )(f в а dxx медици медици нана геометр геометр ияия астроно астроно миямия экологи экологи яя

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  Работа в  Работа в  физике физике термодинамике термодинамике AP ­? AV ­? AT ­?

Изобарный процесс Изобарный процесс 1802 г. 1802 г. А= Р?ΔΔVV А= Р? Жозеф­ Жозеф­ Луи Луи  Гей­Люссак Гей­Люссак

Изохорный процесс Изохорный процесс 1878 г. 1878 г. А= 0А= 0 Жак Шарль Жак Шарль

Изотермический процесс Изотермический процесс А= ?А= ? Э.Мариотт  Э.Мариотт  1676 г.  1676 г.  Р.  Бойль  Р.  Бойль  1662 г.  1662 г.

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  физике физике Работа  Работа  при изотермическом процессе при изотермическом процессе

Тема урока:               «Применение интеграла для  описания                              физических  процессов» «Математика – язык, на котором  говорят все точные науки»                              Н.И. Лобачевский

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  механика механика физике физике электротех электротех ника ника магнети магнети змзм )(f в а dxx оптика оптика электродинам электродинам икаика термодинам термодинам икаика

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  механике механике 1. Вычисление работы движущегося тела.  2. Вычисление перемещения движущегося тела. 3. Вычисление массы тела. 4. Вычисление координаты центра тяжести 5. Вычисление кинетической энергии тела. 6. Вычисление потенциальной энергии пружины.

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  физике физике 1. Вычисление работы идеального газа.  2. Вычисление количества теплоты. 3. Вычисление теплоемкости вещества. 4. Вычисление давления 5. Вычисление количества электричества. 6. Вычисление магнитного потока и т.д.

Интегральная сумма Интегральная сумма )(f dxx в а y  f(x ) S S в

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  механике механике Скорость  движения тела  v = 7t² ­5t . .  v = 7t² ­5t  Найти путь,      пройденный телом  за третью секунду  движения.

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  механике механике Скорость есть производная от  Скорость есть производная от  координаты по времени  координаты по времени  ds dt dt  ds

Применение  Применение  определенного интеграла в  определенного интеграла в  механике механике dt  dS S  t

Алгоритм решения физических  Алгоритм решения физических  задач с использованием  задач с использованием  определенного интеграла определенного интеграла 1. выбрать независимую переменную, 2. выбрать формулу классической физики,  соответствующую условию задачи, 3. найти дифференциал искомой величины на  основании этой формулы, 4. установить промежуток интегрирования, 5. вычислить интеграл, т.е. найти искомую  величину, 6. Проанализировать полученный результат

Применение дифференциального и  Применение дифференциального и  интегрального исчисления в физике интегрального исчисления в физике вычисление производной Физические величины Физическая зависимость между величинами A=Fx   N=A t линейная электрический – масса тонкого A – работа, F – сила, N – мощность, x – пройденный путь, t – время. m стержня,  - плотность, x – линейный размер. q – заряд, I – сила тока, t – время. S – перемещение, v – скорость, t – время. Q – теплоты; с – теплоемкость, количество m=x I=q  t v=S  t c = Q  t вычислени е интеграла

«…Природа  формулирует свои  законы языком  математики»               Г.  Галилей