Презентация по геометрии на тему: "Конус. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус"(11 класс)

Понятие конуса. Площадь Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. поверхности конуса. Усеченный конус. Усеченный конус.

КонусКонус в переводе с греч. « в переводе с греч. «konoskonos»» означает «сосновая шишка». «сосновая шишка». С помощью задач С помощью задач означает об объеме общей части пересекающихся об объеме общей части пересекающихся цилиндров Демокрит получил формулу для формулу для цилиндров Демокрит получил вычисления объема пирамиды и конуса. вычисления объема пирамиды и конуса. Много сделала для геометрии школа школа Много сделала для геометрии Платона. Этой школе принадлежит: а) а) Платона. Этой школе принадлежит: исследование свойств призмы, пирамиды, исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений. сечений. Большой трактат о конических сечениях трактат о конических сечениях Большой был написан Апполонием Перским – учеником был написан Апполонием Перским – учеником Евклида, который создал великий труд из 15 Евклида, который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала».

Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности. α P О L

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу. Вершина Ось P Образующие Боковая  поверхность O Основание  конуса L

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС. С А В

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О и расположенным на оси конуса. Радиус r1 этого круга равен (РО1 /ОР)*r, где r - радиус α основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО1М1. P О1 r1 M1 r O M

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (Б), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности принимается площадь ее развертки. Р Р А В А| В конуса А) А Б)

Выразим площадь Sбoк боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r. Площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конуса (Б) – равна бокS  (1)  l2 360 Выразим α через l и r. Так как длина дуги ABA’ равна (длине окружности основания конуса), то , откуда r2 360 l Sбок  rl произведению половины длины окружности основания на образующую. Подставив это выражение в формулу (1), получим: . Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна  l 180   r  2 r (2)

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой и основания. Для вычисления S полной поверхности поверхности Sполн  ( lr  r ) конуса получается формула .

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя)представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,— высотой усеченного конуса. P Основание Образующая Боковая поверхность О1 r 1 r O Основание

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической образующие конуса равны друг другу. поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции. С D В А

Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей 1 lr ) 1rr Sбок оснований на l  ( r образующую, т.е. , где радиусы оснований, - образующая и - усеченного конуса.

конуса, r > r1 , точки О и О 1 — усеченного центры Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1 — одна из образующих Sбок   rPA   PAr 1 1 оснований. Используя формулу (2),  PAr Получаем 1 1 Отсюда, учитывая, что , находим  AA ) ( PAr 1 AA 1 l (3)   rl ( 1) PAr 1 Sбок r     P r 1A1 r О1 O A

как PA r 1 PA r 1  имеют общий острый угол Р, поэтому lr  1  r PA 1   PA 1 PA 1 r 1 r l Выразим , через и . Прямоугольные 1PA rl, 1r треугольники РО1А1 и РОА подобны, так , или . Отсюда получаем Подставив это выражение в формулу (3), 1 lr )  ( r Sбок приходим к формуле: r 1

1. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 1. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. см. Найдите образующую конуса.    2. Образующая конуса, равная 12 см, 2. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом α наклонена к плоскости основания под углом α . Найдите площадь основания конуса, если: а) . Найдите площадь основания конуса, если: а) α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°. α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°.    3. Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от верш 3. Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от верш ины конуса надо провести плоскость, параллельную основан ины конуса надо провести плоскость, параллельную основан ию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площад ию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площад и основания; б) четверти площади основания? и основания; б) четверти площади основания?    4. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Най 4. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Най дите площадь этого сечения, если радиус основания конуса дите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см. равен 5 см.    5. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечени 5. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечени я равна 6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2. я равна 6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2.

6. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.   7. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.   8. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.   9. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.   10. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

11. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной вращается вокруг поверхностей образованного при этом вращении конуса.   12. Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.   13. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A=90°, ∠D = 45°, ВС = 4 см, CD = 3√2 см. конуса, Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ.