Углы и отрезки,
связанные с
окружностью
Решение задач
B
О АD
C
.1
Так
№ 816
E
Дано: окр. (О,ОА),
ϵ
D OA,
OA BC=D,
ВС
Доказать: ВА – биссектриса ےСВЕ
∩
, ВЕ – касательная.
ВС – хорда,
ОА┴
ЕВА
как
1
2
угол
1
2
ВА
между
АОВ
(
АОВ
ЕВА
Доказательство:
ий
касательно
хордой
,
то
центральны
й
угол
).
2. Так как ВО =ОС – радиусы, то ∆ВОС – равнобедренный,
значит OD – биссектриса ∆ВОС, поэтому ے АОВ=ےАОС.
1
2
АВС
.
1
АС
2
ЕВА
Значит
вписанный
АОС
АОВ
,
угол
АВС
то
как
то
.3
Так
.4
,
АВС
1
2
1
2
5. Следовательно, луч ВА является биссектрисой ے СВЕ.
ч.т.д.
АОС
.
А
К
М
А₁
К
₁
КМВ
,
1
№ 817
₂
₁
₁
₂
Дано: окр. (О ; R ), (O ; R ),
М – точка касания окружностей,
∩ ₁ ₁
АВ, А В секущие, АВ А В =М
₁
Доказать, что АА II ВВ .
Доказательство:
₁ ₁
₁
В₁
В
1. Проведём прямую МК общую касательную к окружностям.
,
хордой
.2
касательно
углы
Так
как
ий
то
КМВ
1
МКА
1
1
1
2
АМА
(
1
₁ ےА МК как вертикальные углы, то
3. Но ےКМВ =
между
1
2
вписанные
₁
МВ
1
МКА
1
1
углы
).
МВВ
1
МВВ
1
МА
1
,
,
АМА
1
ےА АМ =
ےМВВ .₁
₁
₁
4. Следовательно АА II ВВ , так как
накрест
лежащие углы.
₁
ےА АМ и
₁
₁
ےМВВ ₁
ч.т.д.
№ 818 рис. 208
Дано: АС – касательная к окр. (О ; R ), BD
Доказать, что а) AD II BC; б) AB² = AD ∙ BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
₂
– касательная к окр. (О ; R )
₁
₁
₂
хордой
,
углы
Доказательство:
между
касательно
ий
1
ACB
,
CAB
ANB
2
углов
ABD
и
АВС
имеем
ABD
180
лежащие
CAB
углы
ACB
BC
AD
.
ADB
.
ABC
,
как
1
2
а
).1)
Так
DBA
,
CAB
то
DBA
).2
Из
DAB
..
ет
180
AMB
сумме
о
теоремы
BDA
DAB
ABC
AB
BC
AB
AD
AB
накрест
б) 3) ∆ABD ∆ABC по I признаку подобия треугольников, то
AB
AD
ABетBC
..
,
2
AD
BC
.
в
)4)
Так
как
2
2
BD
AC
AD
AB
BC
2
BC
AD
AB
BC
BD
AC
2
BD
AC
2
BD
AC
AB
BC
2
2
BD
AC
2
2
AB
BC
AD
BC
2
BD
2
:
AC
AD
:
BC
.
ч.т.д.
№ 819
Дано: ABCD – четырёхугольник, М
М – точка окружностей описанных около
∆АВМ и ∆CDM, (ABM)
Доказать, что ےAMD = ےABM + ےMCD.
∩
(CDM) = M.
ϵ
(ABCD),
Доказательство:
К
1
2
1). Проведём через точку М касательную к окружности,
описанной около ∆АВМ.
).2
АМК
Тогда
АМК
АВМ
угол
(
..
кт
АМ
между
Значит
ий
KMD
хордой
).
1
2
касательно
).3
4). Следовательно КМ является касательной к окружности,
описанной около ∆MCD.
5). Поэтому ےAMD = ےAMK + ےKMD = ےABM + ےMCD.
MCD
.
MD
ч.т.д.
M
N
O
∩
№ 820
BC = P, Q, BP = CQ,
Дано: ∆АВС, окр. (О; R),
окр.
АВ, АС – касательные.
Доказать, что ∆АВС равнобедренный.
Доказательство:
1). По теореме о касательной и секущей имеем
ВМ² = ВР∙BQ, CN² = CQ∙CP.
2). Так как BP = CQ, то BM² = BP∙BQ = BP∙(BP + PQ) =
CQ∙(CQ + PQ) = CQ∙CP = CN², значит ВМ = СN.
3). ∆АОМ = ∆АОN по общей гипотенузе АО и катетам
┴
┴
MO = NO – радиусы, MO
AC, значит AM = AN.
AB, NO
4). Поэтому AB = AM + BM = AN + CN = AC, т.е. АВ = АС.
5). Следовательно ∆АВС равнобедренный.
ч.т.д.
№ 821
∩
CD = E,
Дано: окр. (О; R), AB
AB = CD – хорды.
Доказать, что EC = EB или EC = EA,
ED = EB или ED = EA.
Доказательство:
1). По теореме о пересечения хорд имеем AE ∙ EB = CE ∙ DE.
2). Так как хорды AB = CD, то выразим DE через AB,
DE = AE + EB – CE, AE ∙ EB = CE ∙ (AE + EB – CE),
AE∙EB = CE∙AE + CE∙EB – CE²,
AE∙EB – CE∙AE – CE∙EB + CE² = 0,
AE∙(EB – CE) – CE∙(EB – CE) = 0, (EB – CE)∙(AE – CE) = 0.
3). Значит либо EB – CE = 0 или либо AE – CE = 0.
4). Следовательно EB = CE или AE = CE, тогда EB = ED
или EA = ED.
ч.т.д.
№ 822
Дано: окр. (О; R), КА – хорда,
КВ – касательная, ОN ? OA,
ON
Доказать, что NK = NM.
KA = M, OM
KB = N.
Доказательство:
∩
∩
∩
ON = M, значит
ےNKM = 90° ےAKO.
1). Так как ОК радиус, КВ – касательная, то ОК ? КВ и
КА
2). ∆АОМ – равнобедренный (ОА = ОК – радиусы), то
ےОКА = ےОАК.
3). ∆АОМ, ےАОМ = 90°, (ON ? OA), то ےАМО = 90° – ےМАО.
4). Значит ےNKM = ےAMO.
5). Но ےАМО = ےNMK как вертикальные углы, значит
ےNKM = ےNMK.
6). Следовательно ∆KMN равнобедренный, а значит NK = NM.
ч.т.д.
№ 823 рис. 209
Дано: окр. (О; R), АВ, АС, В₁С₁ хорды, АВ
₁ = ᴗВ₁В, ᴗАС₁ = ᴗС₁С.
АС
Доказать, что AM =AN.
В∩ ₁С₁ = N, АВᴗ
).1
По
теореме
о
Доказательство:
угле
между
пересекающ
хордами
,
имеем
АМС
1
(
1
2
АС
1
ВВ
1
),
CC
1
).
AB
1
ANB
1
(
₁ = ᴗВ₁В и ᴗАС₁ = ᴗС₁С, значит
1
2
2). Но АВᴗ
ےАМС₁ = ےANB₁.
3). Следовательно ∆AMN равнобедренный,
поэтому AM =AN.
В∩ ₁С₁ = М,
имися
ч.т.д.
№ 824
ϵ
Дано: окр. (О; R), А, В, С, D
окр.,
ϵ
ВМ – биссектриса ∆АВС, ВМ
BD.
Доказать, что ےAMD = ےBAD.
Доказательство:
1). Так как ВМ – биссектриса ∆АВС, то ےАВМ = ےМВС.
2). Так как вписанные углы ےDBC и ےDAC опираются
на одну и ту же ᴗСD, то ےDВC = ےDAС.
3). Следовательно ےАВМ = ےМВС = ےDAС.
4). Из теоремы о сумме углов ∆АMD и ∆ABD, имеем
ےAMD = 180° ےDAМ – ےМDA, ےBAD = 180° –
– ےABD – ےBDA, т.е. ےBAD = 180° – ےDAM – ےMDA.
5). Следовательно ےAMD = ےBAD.
ч.т.д.
К
№ 826
Дано: ∆АВС, АА₁, ВВ₁ – высоты.
Доказать, что А, В, А₁, В₁ ϵ окр. (О; R).
Доказательство:
АВ, так что АК = КВ.
ϵ
1). Возьмем точку К
2). Так как ∆АВВ₁, ےВ₁ = 90°, то КВ₁ = КА = КВ.
3). Так как у прямоугольного треугольника центр
описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е.
в точке К, то точки А, В, В₁ ϵ окр. (К; КВ₁).
4). Так как ∆АВА , ₁ ےА₁ = 90°, то КА₁ = КА = КВ.
5). Значит точки А, В, А₁ ϵ окр. (К; КА₁).
6). Следовательно точки А, В, А₁, В₁ ϵ окр. (К; КВ).
ч.т.д.
Дано: АВСD – вписанный четырёхугольник,
АС ? ВD – диагонали.
Доказать, что AB² + CD² = BC² + AD² = d².
№ 827
Доказательство:
.φ
ےADB = 90° –
и
По
sin(
)
.2
R
2
иR
имеем
BAD
,
теореме
φ
1). Обозначим ےCAD =
, тогда
CAD
для
синусов
).2
CD
AB
sin
90
3). Выразим и сложим АВ = 2Rcosφ, CD = 2Rsin
тогда AB² + CD² = 4R².
4). По теореме Пифагора из треугольников имеем
AB² + CD² = (BK² + AK²) + (CK² + DK²) = (BK² + CK²)
+ (AK² + DK²) = BC² + AD² = 4R² = d². ч.т.д.
, φ
Углы и отрезки, связанные с окружностью.pptx
