Презентация предназначена для подготовки обучающихся к ГИА по математике. В ней содержится материал по геометрии, по теме "Треугольники", а также несколько задач с решением, в том числе и из демонстрационных материалов прошлых лет. Презентацию можно использовать как на уроках математики, так и на консультациях.презентация для подготовки к ГИА по математике
gia.pptx
Подготовка к ГИА
модуль «Геометрия»
Треугольники
учитель математики
МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской
области»
Шабанова Татьяна Александровна
2012
Подготовка к ГИА модуль «Геометрия»Треугольники учитель математики МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской области»Шабанова Татьяна Александровна2012
Высота, медиана, биссектриса треугольника
Отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой
противоположной стороны,
называется медианой
Отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий
вершину треугольника с точкой
противоположной стороны,
называется биссектрисой
треугольника
А
А
М
А1
Перпендикуляр,
проведенный из вершины
треугольника к прямой,
содержащей
противоположную
сторону, называется
перпендикуляром
А
Н
АМ – медиана
АА1 – биссектриса
АН высота
Высота, медиана, биссектриса треугольника
Средняя линия треугольника
В
Средней линией треугольника
называется отрезок, соединяющий
середины двух его сторон.
КМ – средняя линия
К
М
Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой стороны
А
С
ÊÌ
ÀÂ
ÊÌ
1
2
ÀÂ
Средняя линия треугольника
Cерединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку называется
прямая, проходящая через середину данного отрезка и
перпендикулярна к нему
А
а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ
а
В
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему
m
М
m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ,
О – середина отрезка АВ
М Є m
АМ = ВМ
А
В
О
Cерединный перпендикуляр
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке
В
m
А
n
O
p
m
n
p
AB
,
,
BC
AC
m, n, p пересекаются в точке О
С
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Точка пересечения биссектрис треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
С
О
Р
СК – биссектриса <С
АМ – биссектриса <А
ВР – биссектриса <В
О – точка пересечения биссектрис
М
А
К
В
Точка пересечения биссектрис треугольника
Точка пересечения высот треугольника
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке
В
О
М
К
С
Р
А
ÂÊ
ÑÐ
ÀÌ
ÀÑ
ÀÂ
ÂÑ
О – точка пересечения высот
Точка пересечения высот треугольника
Точка пересечения медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины
С
ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС
О – точка пересечения медиан
Р
О
М
СО : КО = 2 : 1
АО : МО = 2 :1
ВО : РО = 2 : 1
А
К
В
Точка пересечения медиан треугольника
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Треугольник называется
равнобедренным, если две его
стороны равны
В
Треугольник, все стороны
которого равны, называется
равносторонним
В
А
С
А
С
АВ = ВС
АВ = АС = ВС
Равнобедренный треугольникРавносторонний треугольник
Свойства равнобедренного треугольника
С
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны
<А = <В
В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой
А
К
АС = ВС
В
СК биссектриса
АК = КВ, СК АВ
1. Высота равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является
медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является
высотой и биссектрисой.
Свойства равнобедренного треугольника
Прямоугольный треугольник
Треугольник, у которого один из углов
прямой, называется прямоугольным
АВ и АС – катеты
ВС гипотенуза
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
С
ВС² = АВ² + АС²
В
А
Прямоугольный треугольникТеорема Пифагора
Свойства прямоугольного треугольника
В
С
Признаки равенства треугольников
I признак
По двум сторонам и
углу между ними
В
М
II признак
По стороне и
прилежащим к ней
P
B
углам
III признак
По трем сторонам
B
M
А
КС
N
А
К
C
N
А
C
K
N
Если
Признаки равенства прямоугольных
треугольников
В
А
По двум катетам
Если АВ = КМ, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и острому
углу
Если ВС = MN,
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
В
АВ < ВС + АС
АС < АВ + ВС
ВС < АВ + АС
А
С
Неравенство треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°
A
Внешний угол треугольника равен сумме
двух углов треугольника, не смежных с ним
2
1
3 4
<3 смежный с <4
<4 + <3 = 180°
(<1 + <2) + <3 = 180°
<1 + <2 = <4
17
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Зависимость между величинами сторон и углов
треугольника
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный
Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько
равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые,
пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой
равные между собой отрезки
А1
В1
А2
А3
В2
В3
А4
а
b
В4
А1 А2 = А2А3 = А3 А4
Проведем параллельные прямые
В1В2 = В2В3 = В3В4
Теорема Фалеса
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого
В
В1
А
С
А1
С1
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то
такие треугольники подобны
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники подобны
В
Р
Если
Если
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного
треугольника и углов от 0° до 180°
В
С
А
Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
BC
AB
A
sin
Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
AC
AB
A
cos
Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему
tgA
BC
AC
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°
Основное тригонометрическое тождество
sin² x + cos² x = 1
Теорема о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними
S
1
2
ab
sin
C
a
C
b
Основное тригонометрическое тождествоТеорема о площади треугольника
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
а
B
C
c
b
A
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
Теорема синусов
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
C
а
b
B
2
ñ
c
a
2
A
b
22
ab
cos
C
Теорема косинусов
№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г)
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при
вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
В
№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD
равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Решение:
С
D
В
А
№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше
другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.
№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г)
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты:
АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника
Решение:
А
С
ÑÊ
1
2
ÀÂ
1
2
2
ÀÑ
2
ÂÑ
1
2
36
5
64
К
Ответ: 5
В
№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине
В равен 68°. Найдите угол А.
Решение:
С
2
8
68
В
А
I способ:
Внешний угол треугольника равен
сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним. Следовательно
№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их
серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.
Решение:
D
В
А
О
С
Достроим треугольники АВС и ВАD.
∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу
между ними)
AO = OB, DO = OC по условию,
№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите
подобие треугольников MBN и ABC.
Решение:
С
А
М
Так как М и N середины сторон АВ и
ВС, то MN – средняя линия ∆АВС
следовательно MN || АС.
Так как MN || АС,
то
№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена
высота LP. Докажите, что LP² = KP∙MP.
Решение:
M
P
L
K
∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам
(
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с
договором-офертой сайта. Вы можете
сообщить о нарушении.
gia.pptx
