Презентация по геометрии "Подготовка к ГИА. Модуль "Геометрия", треугольники"

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники учитель математики  МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской  области» Шабанова Татьяна Александровна 2012 Подготовка к ГИА модуль «Геометрия»Треугольники учитель математики МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской области»Шабанова Татьяна Александровна2012

Высота, медиана, биссектриса треугольника Отрезок, соединяющий вершину  треугольника с серединой  противоположной стороны,  называется медианой Отрезок биссектрисы угла  треугольника, соединяющий  вершину треугольника с точкой  противоположной стороны,  называется биссектрисой  треугольника А А М А1 Перпендикуляр,  проведенный из вершины  треугольника к прямой,  содержащей  противоположную  сторону, называется  перпендикуляром А Н АМ – медиана АА1  – биссектриса АН ­ высота Высота, медиана, биссектриса треугольника

Средняя линия треугольника В Средней линией треугольника  называется отрезок, соединяющий  середины двух его сторон. КМ – средняя линия К М Средняя линия треугольника параллельна одной  из его сторон и равна половине этой стороны А С ÊÌ ÀÂ ÊÌ 1 2 ÀÂ Средняя линия треугольника

Cерединный перпендикуляр Серединным перпендикуляром к отрезку называется  прямая, проходящая через середину данного отрезка и  перпендикулярна к нему А а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ а В Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого  отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему m М m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ,  О – середина отрезка АВ М Є m АМ = ВМ А В О Cерединный перпендикуляр

Точка пересечения серединных перпендикуляров Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника  пересекаются в одной точке В m А n O p m n p    AB , , BC AC m, n, p пересекаются в точке О С Точка пересечения серединных перпендикуляров

Точка пересечения биссектрис треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке С О Р СК – биссектриса <С АМ – биссектриса <А ВР – биссектриса <В О – точка пересечения биссектрис М А К В Точка пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке В О М К С Р А ÂÊ ÑÐ ÀÌ  ÀÑ  ÀÂ  ÂÑ О – точка пересечения высот Точка пересечения высот треугольника

Точка пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит  каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины С ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС О – точка пересечения медиан Р О М СО : КО = 2 : 1 АО : МО = 2 :1 ВО : РО = 2 : 1 А К В Точка пересечения медиан треугольника

Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Треугольник называется  равнобедренным, если две его  стороны равны В Треугольник, все стороны  которого равны, называется  равносторонним В А С А С АВ = ВС АВ = АС = ВС Равнобедренный треугольникРавносторонний треугольник

Свойства равнобедренного треугольника С В равнобедренном треугольнике  углы при основании равны <А = <В В равнобедренном треугольнике  биссектриса, проведенная к основанию,  является медианой и высотой А К АС = ВС В СК ­ биссектриса АК = КВ, СК АВ  1. Высота равнобедренного треугольника,  проведенная к основанию, является  медианой и  биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника,  проведенная к основанию, является  высотой и биссектрисой. Свойства равнобедренного треугольника

Прямоугольный треугольник Треугольник,  у которого один из углов  прямой, называется прямоугольным  АВ и АС – катеты ВС ­ гипотенуза Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат  гипотенузы равен сумме квадратов катетов С ВС² = АВ² + АС² В А Прямоугольный треугольникТеорема Пифагора

Свойства прямоугольного треугольника В С

Признаки равенства треугольников I признак По двум сторонам и  углу между ними В М II признак По стороне и  прилежащим к ней  P B углам III признак По трем сторонам B M А КС N А К C N А C K N Если 

Признаки равенства прямоугольных  треугольников В А По двум катетам Если АВ = КМ, АС = KN,  то  ∆АВС = ∆KMN По гипотенузе и острому  углу Если ВС = MN, 

Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон В АВ  < ВС + АС АС  < АВ + ВС ВС <  АВ + АС А С Неравенство треугольника

Сумма углов треугольника равна 180° A

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним 2 1 3 4 <3 смежный с <4 <4 + <3 = 180° (<1 + <2) + <3 = 180° <1 + <2 = <4 17 Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Зависимость между величинами сторон и углов  треугольника В треугольнике:  1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета 2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько  равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые,  пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой  равные между собой отрезки А1 В1 А2 А3 В2 В3 А4 а b В4 А1 А2 = А2А3 = А3 А4  Проведем параллельные прямые В1В2 = В2В3 = В3В4 Теорема Фалеса

Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы  соответственно  равны и стороны одного треугольника  пропорциональны сходственным сторонам другого В В1 А С А1 С1

Признаки подобия треугольников 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого  треугольника, то такие треугольники подобны 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам  другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то  такие треугольники подобны 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам  другого треугольника, то такие треугольники подобны В Р Если  Если 

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного  треугольника и углов от 0° до 180° В С А Синусом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  противолежащего катета к гипотенузе BC AB A  sin Косинусом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  прилежащего катета к гипотенузе AC AB A  cos Тангенсом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  противолежащего катета к прилежащему tgA  BC AC Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°

Основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1 Теорема о площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения двух его  сторон на синус угла между ними S 1 2 ab sin C a C b Основное тригонометрическое тождествоТеорема о площади треугольника

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов а B C c b A a sin A  b sin B  c sin C Теорема синусов

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус  удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними C а b B 2 ñ c  a 2 A b  22 ab cos C Теорема косинусов

№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при  вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Решение:  В

№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD  равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. Решение:  С D В А

№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше  другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г) В прямоугольном треугольнике АВС  с прямым углом С известны катеты:  АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника  Решение:   А С ÑÊ  1 2 ÀÂ  1 2 2 ÀÑ  2 ÂÑ  1 2 36  5 64 К Ответ: 5 В

№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине  В равен 68°. Найдите угол А. Решение:  С 2 8 68 В А I способ:        Внешний угол треугольника равен  сумме двух углов треугольника, не  смежных с ним. Следовательно 

№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их  серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD. Решение: D В А О С Достроим треугольники АВС и ВАD. ∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу  между ними)  AO = OB, DO = OC  по условию,

№25. В треугольнике АВС  М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите  подобие треугольников MBN  и ABC. Решение:  С А М  Так как М и N середины сторон АВ и  ВС, то MN – средняя линия  ∆АВС следовательно    MN || АС.       Так как MN || АС,        то 

№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена  высота LP. Докажите, что LP² = KP∙MP.  Решение:  M P L K ∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам  (