Презентация по математике "Числовые последовательности"

Ребята,  мы  переходим  к  изучению  новой  темы  ­  числовые  последовательности.  Из  названия  понятно,  что  мы  будем  рассматривать  последовательность чисел. чисел  1,2,3,4,5,6,7,8,9  –  Числовые  последовательности  принято  рассматривать  в  виде  Например  последовательность  последовательность первых десяти чисел. похожем на задание функций.  Хорошо  известную  нам  функцию                ,  мы  можем  записать  в  виде  числовой последовательности       .  Мы получим последовательность квадратов  натуральных чисел: 1,4,9,16…

А нужны ли нам последовательности в реальной жизни? Предположим  у  нас  есть  некоторый  счет  в  банке,  на  который  раз  в  месяц  начисляют  некоторую  конкретную  сумму  денег.  Так  вот  такое  начисление можно описать в виде числовой последовательности: Где а ­ начальная сумма на счете, b – сумма которую каждый месяц  начисляют, n – натуральное число. Если  мы  хотим  подсчитать  какая  сумма  будет  находиться  в  банке  через 12 месяцев:

обозначение последовательностей вот в таком виде: ….. Вместо Чтобы  сильно  не  путаться  с  функциями,  математики  приняли      последовательности запишутся как: Пусть  дана  функция                тогда  члены  числовой  ……..

Давайте введем определение числовой последовательности. Определение.  Функцию  y=f(х),  хϵN    называют  функцией  натурального  аргумента или числовой последовательностью,  обозначают как y=f(n) или  Для     , n – индекс, он задает порядковый номер элемента  последовательности. Если  в  последовательности  встречаются  многоточия,  то  так  принято  обозначать последующие члены.  Для последовательности  имеется ввиду что после                                 и  так далее.  Возле члена       подразумевается запись  Последовательности можно обозначать  любыми буквами латинского алфавита.

Способы задания числовых последовательностей. Аналитический способ. Последовательность задана аналитически, если задана  формула n­ого члена последовательности. Пример. Последовательность задана аналитически Запишем последовательно  несколько первых членов: Зная начальную формулу,  нетрудно найти какой либо  член последовательности,  давайте найдем 10 член  последовательности, в  исходной формуле вместо n  подставим 10.

Пример.              Наша последовательность всегда принимает значение  равное С, то есть имеет вид: С,С,С,С…  Такую последовательность называют  стационарной. Зная формулу n­ого члена последовательности, нетрудно найти  какой либо член последовательности. А вот если задана  последовательность, но неизвестна формула для n­ого члена, чаще всего  удается задать последовательность в аналитическом виде. Пример. Дана последовательность 1,3,5,7,9… Очевидно,  что  перед  нами  последовательность  нечетных  чисел.  аналитическая форма будет в таком виде:   Тогда  Пример. Дана последовательность 5,15,20,25… Номер члена последовательности умножается на пять, тогда в аналитическом  виде имеем:

Пример. 8,13,18,23… Каждый член последовательности на 5 больше предыдущего. 8=5+3, тогда получаем, что наша последовательность задана в виде: Пример. Аналитическая запись нашей последовательности:

Словесное задание последовательности. Чаще  всего  такой  способ  применяют,  когда  нет  возможности  задать  последовательность  аналитически  (или  это  очень  сложно)  или  последовательность состоит из небольшого количества членов. Пример. 1,3,5,6,9,10,15. Нашу  последовательность  задать  в  аналитической  форме  не  тогда  просто  произносят  члены  представляется  возможным,  последовательности.

Рекуррентное задание последовательности. Данный способ позволяет вычислять члены последовательности, через предыдущие ее члены. Используя данный способ, мы как бы всегда возвращаемся назад, вычисляя предыдущие члены. Почти всегда задана формула позволяющая вычислять n-ый член через предыдущие члены.  Пример. предыдущего прибавлением к нему двойки. новый  член  Каждый  последовательности  получается  из  Последовательность можно задать и аналитически:

Пример. Каждый новый член последовательности получается из разности двух  предыдущих членов. Наша последовательность представляет собой:2;4;2;­2;­4;­2;2;4….

Монотонные последовательности. Последовательность  называется  возрастающей,  если  каждый  следующий член больше предыдущего. называется  следующий член меньше предыдущего. Последовательность  убывающей,  если  каждый  Убывающие  и  возрастающие  последовательности  называют  монотонными последовательностями. Пример. 1,3,5,7,9…. – возрастающая последовательность. Пример. 1,­1,­3,­5… ­ убывающая последовательность. Пример.  возрастающая,  1,­1,3,­3,5,­5…  ни  ­  ни  убывающая  последовательность.   Пример               Члены нашей последовательности: 2,4,8,16… Последовательность возрастает.  – если а>1­ то последовательность возрастает,  если 0<а<1­ то последовательность убывает.

. Задачи для самостоятельного решения. Задачи для самостоятельного решения. 1. Задать последовательность в аналитическом виде: а. 4,8,12,16… б. 1,­1,1,­1… 2. Последовательность задана в аналитической форме Найти 10,50,63 член последовательности. 3. Последовательность задана в аналитической форме  Найти 5,10,13 член последовательности. 4. Последовательность задана в рекурсивном виде если n=2,3,4…  Найти 5,11,12 член последовательности. 5. Последовательность задана в рекурсивном виде если n=3,4,5…. Найти 3,4,9 член последовательности.