Презентация по математике "Интересный модуль" (8-9 классы)

Модулем числа а называют расстояние  Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а). координат до точки А(а). Модуль числа 5 равен 5 так как точка  Модуль числа 5 равен 5 так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5 Расстояние точки М(-6) от начала  Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6 Пишут: |-6| = 6

Модулем неотрицательного  Модулем неотрицательного действительного числа a действительного числа a называют само это число: называют само это число:  |а| = а|а| = а Модулем отрицательного  Модулем отрицательного действительного числа х х действительного числа называют противоположное число: называют противоположное число: |а| = - а |а| = - а Короче это записывают так:  Короче это записывают так:

 Модуль числа не может быть  Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – для отрицательного – противоположному числу. противоположному числу. Противоположные числа имеют равные Противоположные числа имеют равные модули: модули: – |-а| = |а| |-а| = |а| Модуль числа 0 равен 0, так как точка с  Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков: единичных отрезков:  |0| = 0|0| = 0

На практике используют различные  На практике используют различные свойства модулей: свойства модулей: |а| ≥ 0  |а| ≥ 0 |а·b| = |а| · |b|  |а·b| = |а| · |b| |а|n = аn , n є Z, a ≠ 0, n > 0  |а|n = аn , n є Z, a ≠ 0, n > 0 |а| = | - а|  |а| = | - а| |а + b| ≤ |а| + |b|  |а + b| ≤ |а| + |b| |а·q| = q·|а| , где q - положительное  |а·q| = q·|а| , где q - положительное число число |а|2 = а2  |а|2 = а2 Значение |a - b|  равно расстоянию на  Значение |a - b|  равно расстоянию на числовой прямой между точками, числовой прямой между точками, изображающими числа a и b. изображающими числа a и b.

Пример 1. │√2 - √5│ = √5 - √2, т.к. √2 - √5<0 √(1 - √3)² = │√1 - √3│ = √3 – 1, т.к. 1 - √3 < 0

Пример 2. Упростить выражение   , если a < 0. Решение.  Так как по условию а < 0, то |а| = ­а. В результате получаем Ответ:

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Решим аналитически и графически уравнение │х - 2│ = 3 Пример 1. Если х – 2 > 0, то х – 2 = 3, х = 5 Если х – 2 < 0, то х – 2 = - 3, х = - 1 Ответ: х = 5; - 1. Вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному Положительному числу а, тогда выражение под модулем равно либо а, либо – а.

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль Графическое решение является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

Графическое решение уравнения │х – 2 │= 3 Для решения уравнения графическим способом надо построить Прямая графика функции у = 3 пересеклась с графиком функции у = │х – 2 │ в точках с координатами (-1;3) и (5;3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек графики функций у = │х – 2 │и у = 3. х = 5, х = -1 Ответ: х=5, х= -1

Пример 2. Решим уравнение │х - 2│= 0 х – 2 =0, х = 2 Ответ: х = 2 Вывод: если модуль некоторого выражения равен 0, тогда выражение под модулем равно 0.

Пример 3. Решим уравнение │х - 2│= - 2 Это уравнение не имеет корней, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным числом.