Сборник материалов для подготовки к ОГЭ по математике

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором

Вектор АВ
А – начало вектора
В – конец вектора

Вектор КМ

0

Координаты вектора    равны разности соответствующих координат точек его конца и начала, то есть, на плоскости 

В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости Oxy даны две точки   . Найдите координаты .

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ Длина нулевого вектора равна нулю |0| = 0

а

р

е

f

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?
Таким образом, если на плоскости заданы точки    и   , то вектор    имеет координаты    и его длина вычисляется по формуле 

Решение: по соответствующей формуле:

Даны точки   и   .
Найти длину отрезка  .

Задание. Найти длину вектора 

Решение. Для нахождения длины вектора, заданного на плоскости, воспользуемся формулой

Подставляя в неё координаты заданного вектора, получим:



Ответ: 

27725. Вектор АВ с началом в точке A(2;4)
имеет координаты (6;2).
Найдите ординату точки B.

Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:

Следовательно можем найти координаты точки В:
х2 – 2 = 6         у2 – 4 = 2
х2  = 8             у2  = 6
Таким образом, ордината точки В равна 6.

27726. Вектор АВ с началом в точке A(3;6)
имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B. 

Можем найти координаты точки В:
х2 – 3 = 9         у2 – 6 = 3
х2  = 12             у2  = 9

Таким образом, сумма координат точки В равна 21.

Откладывание векторов
от данной точки

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны .

n = h

Равенство векторов

Для любых чисел k , l и любых векторов a , b справедливы равенства :
(kl )a = k (la ) ( сочетательный закон )
(k+l) a = ka + la ( первый распределительный закон )
K ( a+b ) = ka + kb (второй распределительный закон ) .

Умножение вектора на число

Для любых чисел k , l и любых векторов a , b справедливы равенства :
(kl )a = k (la ) ( сочетательный закон )
(k+l) a = ka + la ( первый распределительный закон )
K ( a+b ) = ka + kb (второй распределительный закон ) .

Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой.
Находим сумму их соответствующих координат:  (2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Таким образом, длина  вектора

Следовательно квадрат длины равен 200.

Находим разность их соответствующих координат: (2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Таким образом, длина  вектора

Следовательно квадрат её длины равен 40.

Скалярным произведением векторов  и  называется  число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:




Скалярное произведение векторов и  равно сумме произведений одноименных координат.


Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами :

№ 27737. Даны вектора

Найдите: 1. Сумму координат вектора
2. Квадрат длины вектора
3. Скалярное произведение векторов и
4. Угол между векторами и

1.Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.
Координаты вектора   равны сумме соответствующих координат векторов :


Сумма координат вектора равна 20 Ответ: 20.

2. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому квадрат длины вектора равен Ответ: 200.
3.Скалярное произведение векторов и  равно сумме произведений одноименных координат. Ответ: 40.