Конспект и презентация к уроку математики "Теорема Менелая"

B A Теорема Менелая Свойство биссектрисы треугольника AB BC  = AK  KC C K Обобщенная теорема Фалеса B k x D x A y E k y DE  AD DB  BC AE EC  =  C

Теорема Менелая Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту B SABD SDBC  =  AD DC A D C B Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол E SABC SDBE  =  AB  BC DB  BE C D A

Теорема Менелая Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении  стороны АС за точку С взята точка N, причем АС = 2 СN.  Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3.  В каком отношении прямая MN делит сторону АВ? Решение. А 3. Δ TBK подобен Δ NAK по двум углам. 2a С ВК : KA = TB : NA = 1 : 9.  1 Ответ:  9 . Т В K x M 3x  ││ AN. 1. Проведем прямую ВТ  2. Пусть CN = a, AC = 2a. Δ TBM подобен Δ NCM по  двум углам. TB : NC = BM : MC = 1 : 3,                   . a N TB  . a 1 3

Теорема Менелая Теорема Менелая.. Пусть прямая пересекает стороны ВС,  Теорема Менелая СА, АВ треугольника АВС (или их продолжения) в точках  А1, В1, С1, то справедливо соотношение  1 АС ВА СВ 1 С В АС В А  1  1 1 1 B c С1 А  . 1 А1 С B1

Теорема Менелая Доказательство. 1. Проведем через точку С,  прямую параллельно АВ.  2. К – точка её пересечения с       прямой В1С1. B c С1 А1 С К B1 А  3. ∆АС1В1 и ∆ СКВ1 подобны т.к.    С1АВ1 =    КСВ1  и   АС1В1 =   СКВ1  внешние односторонние углы  при параллельных  АС  прямых АС1, СК и секущих  АВ1 и С1В. 4. Значит  1 СК 5. ∆ВС1А1 и ∆ СКА1  подобны, т.к.  ВА1С1 =  СА1К –  вертикальные,   С1ВА1 =   КСА1 ­  внутренние накрест  лежащие углы при параллельных прямых АВ и СК и  секущей ВС.  АВ 1 СВ 1 .

Теорема Менелая B c С1 А1 С К B1 А Доказательство. ВС  1 СК 6. Значит    7. Из равенства находим, что ВА 1 СА 1 . СК  ВССА 1 1  ВА 1 СК  АС СВ 1 1  АВ 1 8. Получаем, что  АС СВ 1 1 АВ 1 САВС 1  ВА 1   1 АС 1 ВС 1 ВА  1 СА 1 СВ  1 АВ 1  .1 Теорема доказана.

Теорема Менелая Теорема (Менелая обратная). Пусть дан треугольник АВС.  Предположим, что точка С1 лежит на стороне АВ, точка  А1 лежит на стороне ВС, а точка В1 лежит на  продолжении стороны АС,  причём про  эти точки  известно,   что                                        1 1  . 1 1 АС ВА СВ 1 С В А С В А   1 1 Тогда эти точки лежат на одной прямой. B c С1 А1 С B1 А

Теорема Менелая Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении  стороны АС за точку С взята точка N, причем АС = 2 СN.  Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3.  В каком отношении прямая MN делит сторону АВ? В K x M 3x А 2a С a N Решение. AK CN  NA KB AK KB AK KB BM  MC 1 1  3 3  KB AK 1; 9 1 ,  1;  1 9 . 1 Ответ: 9 .

Теорема Менелая Задача 2. В трапеции АВСD основание АD в три раза  больше, чем ВС. Точка М делит сторону СD в отношении  СМ : МD = 1 : 2. Определите в каком отношении отрезки  АМ и BD делятся точкой их пересечения. Решение.  AMD 1) подобен ΔPMC, B B a a C C K K A A 3a 3a 3 2 a P b b M M 2b 2b D D k  , CP  a. 1 2 3 2 2) Применим теорему Менелая  к    треугольнику ВCD и  прямой АР: BP  PC отсюда DK KB  1, DK KB  6 5 . CM  CD 6 . 5 Ответ:

Теорема Менелая Задача 3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана  точка D так, что BD:DC =1:2. Медиана СЕ пересекает  отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника  АВС составляет площадь треугольника AEF. В К E F D Решение. 1) Возьмем точку К на АВ так,       что DK ││ЕC. Δ СЕВ подобен Δ DKB по двум  углам. СВ : DB = EB : BK = 3 : 1. Тогда ВК = х, АЕ = ВЕ = 3х. С А 2) SABD : SABC = BD : CB = 1 : 3 (общая  высота,  проведенная из точки А).  3) SAKD : SABD = AK : AB = 5 : 6 (общая высота, проведенная из точки D).

Теорема Менелая Задача 3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана  точка D так, что BD:DC =1:2. Медиана СЕ пересекает  отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника  АВС составляет площадь треугольника AEF. В К F E А D Решение. 4) Δ AEF подобен Δ ADK      по двум углам.      SAEF : SAKD = 9 : 25; С 9  S 25 AKD S AEF  S ABD  S . ABC 9 25 5 6 1 3 9 25 5 6 Ответ: 0,1.

Теорема Менелая Задача 4. В треугольнике АВС, описанном около  окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки  касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и  ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р  лежит на биссектрисе ВВ1. Найти отношение АР : РА1. Решение. 1) Пусть ВС1 = ВА1 = х, А1С =  = 5 – х, С1А = 8 – х. 9 2 х P P B B х 9 2 A1 A1 5 – х  C C C1 C1 7 8 – х  2 A A 4    АС1 + А1С = 4    (отрезки касательных) 9  2 7 2 5 х 9 ВА1 = ВС1 =  2 ,4 х , С1А =  .  8 х . 2) Применим теорему Менелая к   АВА1 и прямой СС 1:

Теорема Менелая Задача 4. В треугольнике АВС, описанном около  окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки  касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и  ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р  лежит на биссектрисе ВВ1. Найти отношение АР : РА1. Решение. 9 2 х P P B B х 9 2 A1 A1 5 – х  C C C1 C1 7 8 – х  2 A A 4 2) Применим теорему Менелая к  AC 1 BC  АВА1 и прямой СС 1:  PA 1 AP PA  1 PA BC  CA 1  1,  9 70 . 1 Ответ:  70 9 .

Теорема Менелая Домашнее задание. 1. Дан треугольник АВС, в котором ВМ – медиана.  Точка Р лежит на стороне АВ, точка  Q – на стороне  ВС, причем   .6 АР РВ 2 5 , BQ QC       Отрезок PQ пересекает медиану ВМ в точке R.       Найти . BR RM 2.  В треугольнике АВС угол С – прямой, ВС = 3, АС = 4  и           проведены биссектриса СD и медиана АМ.  Найти площадь треугольника СЕМ. 3.   Докажите, что медианы треугольника пересекаются в  одной точке и эта точка пересечения делит каждую из  медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины.