Презентация по математике на тему "Функции и их графики" (10-11 кл)

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Функции и их графики

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Оглавление  Понятие функции  Постоянная функция  Корень n­ой степени  Степенная функция  Показательная функция  Логарифмическая функция  Тригонометрические функции 2

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Понятие функции Понятие функции является одним из основных в  математике. Оно вводится следующим образом. Пусть  заданы два множества X и Y. Если каждому элементу x из  множества X поставлен в соответствие элемент y = f(x)  множества Y, то говорят, что на множестве X задана  функция f. При этом элемент x называется независимой  переменной, а элемент y — зависимой переменной. В  случае, когда x и y являются действительными числами,  функцию y = f(x) можно представить в виде графика в  декартовой системе координат Oxy. 3

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Постоянная  функция 4

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел  формулой y равно C, где C – некоторое действительное число. Постоянная  функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой  переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С.  Постоянную функцию также называют константой.  Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и  проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики  постоянных функций y=5, y=­2 и y равно кубическому корню из трех, которым на  рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые  соответственно. 5

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства постоянной функции:   Область определения: все множество  действительных чисел.  Постоянная функция является четной.  Область значений: множество, состоящее из  единственного числа С.  Постоянная функция невозрастающая и  неубывающая (на то она и постоянная).  Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной  не имеет смысла.  Асимптот нет.  Функция проходит через точку (0,C)  координатной плоскости. 6

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Корень n­ой степени 7

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой                   ,  где n – натуральное число, большее единицы. Корень n­ой степени, n ­ четное число. Начнем с функции корень n­ой степени при четных значениях показателя корня n. Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и, им  соответствуют черная, красная и синяя линии. Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других  значениях показателя. 8

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства функции корень n­ой степени при четных n.  Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .  При x=0 функция принимает значение, равное нулю.  Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).  Область значений функции: все неотрицательные числа .  Функция, при четных показателях корня возрастает на всей области определения.  Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области  определения, точек перегиба нет.  Асимптот нет.  График функции корень n­ой степени при четных n проходит через  точки (0,0) и(1,1). 9

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Функция корень n­ой степени с нечетным показателем  корня n определена на всем множестве  действительных чисел. Для примера приведем  графики функций и, им соответствуют черная,  красная и синяя кривые. 10

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства функции корень n­ой степени при нечетных n.  Область определения: множество всех действительных чисел.  Эта функция нечетная.  Область значений функции: множество всех действительных чисел.  Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области  определения.  Эта функция вогнутая на промежутке  и выпуклая на промежутке , точка с  координатами (0,0) – точка перегиба.  Асимптот нет.  График функции корень n­ой степени при нечетных n проходит через точки         (­1,­1), (0,0) и (1,1). 11

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная  функция 12

Степенная функция. Степенная функция задается формулой вида          . Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости  от значения показателя степени. Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных  функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также  от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции  при нечетных положительных  значениях показателя a, далее ­ при четных положительных, далее ­ при нечетных  отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a. Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид  графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем  рассматривать, во­первых, при a от нуля до единицы, во­вторых, при a больших единицы, в­ третьих, при a от минус единицы до нуля, в­четвертых, при a меньших минус единицы. В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым  показателем. 13

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с нечетным положительным  показателем. Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе  степени, то есть, при а=1,3,5,…. На рисунке ниже приведены графики степенных функций:  14

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции с нечетным положительным  показателем.  Область определения: все действительные числа .  Область значений: все действительные числа.  Функция нечетная, так как y(­x) = ­y(x).  Функция возрастает при любом значении.  Функция выпуклая при неположительных значениях  и вогнутая  при неотрицательных (кроме линейной функции).  Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).  Асимптот нет.  Функция проходит через точки (­1;­1), (0;0), (1;1). 15

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с четным  положительным показателем. Рассмотрим степенную функцию  с четным  положительным показателем степени, то  есть, при а=2,4,6,…. 16

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции с четным положительным показателем. Область определения: все действительные числа. Область значений: все действительные числа. Функция четная, так как y(­x) = y(x). Функция возрастает при неотрицательных значениях функции, убывает  при неположительных. Функция вогнутая при всех действительных значениях. Точек перегиба нет. Асимптот нет. Функция проходит через точки (­1;1), (0;0), (1;1). 17

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с нечетным отрицательным  показателем Посмотрите на графики степенной функции y равно x в  степени a при нечетных отрицательных значениях  показателя степени, то есть, при а=­1,­3,­5, 18

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.  Область определения: все действительные числа, кроме нуля.  При x=0 имеем разрыв второго рода. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной  асимптотой.  Область значений: все действительные числа, кроме нуля.  Функция нечетная.  Функция убывает при любом значении.  Точек перегиба нет.  Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0.  Функция проходит через точки (­1;­1), (1;1). 19

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с четным отрицательным  показателем. Перейдем к степенной функции при а=­2,­4,­6,…. 20

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции с четным отрицательным  показателем.  Область определения: все действительные числа, кроме нуля.  При x=0 имеем разрыв второго рода. Следовательно, прямая x=0 является  вертикальной асимптотой.  Область значений: все положительные числа.  Функция четная  Функция возрастает при отрицательных значениях, убывает при  положительных .  Точек перегиба нет.  Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.  Функция проходит через точки (­1;1), (1;1). 21

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с рациональным или  иррациональным показателем, значение которого  больше нуля и меньше единицы. Обратите внимание! Если a ­ положительная дробь с нечетным  знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения  степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель  степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по  алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с  показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных  значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда,  то есть, будем считать областями определения степенных функций с  дробными положительными показателями степени множество. 22

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Рассмотрим степенную функцию с рациональным или  иррациональным показателем a, причем 0 < a < 1 . 23

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции при 0 < a < 1.  Область определения: все неотрицательные числа .  Область значений: все неотрицательные числа.  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Функция возрастает при неотрицательных значениях.  Функция выпуклая при положительных значениях.  Точек перегиба нет.  Асимптот нет.  Функция проходит через точки (0;0), (1;1). 24

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с нецелым рациональным или  иррациональным показателем, большим единицы. Рассмотрим степенную функцию  с нецелым рациональным  или иррациональным показателем a, причем a > 1 . 25

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции при a > 1.  Область определения: все неотрицательные числа.  Область значений: все неотрицательные числа .  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Функция возрастает при неотрицательных значениях .  Функция вогнутая при положительных значениях , если 1 < a < 2 ; при  неотрицательных значениях , если a > 2 .  Точек перегиба нет.  Асимптот нет.  Функция проходит через точки (0;0), (1;1). 26

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с действительным показателем,  который больше минус единицы и меньше нуля. Обратите внимание! Если a ­ отрицательная дробь с нечетным  знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения  степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель  степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по  алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с  показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных  значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда,  то есть, будем считать областями определения степенных функций с  дробными дробными отрицательными показателями степени  множество  соответственно. 27

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Переходим к степенной функции, когда ­1 < a < 0. 28

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции с показателем ­1 < a < 0  Область определения: все положительные числа.  х=0 является вертикальной асимптотой.  Область значений: все положительные числа.  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Функция убывает при положительных значениях.  Функция вогнутая при положительных значениях.  Точек перегиба нет.  Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.  Функция проходит через точку (1;1). 29

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Степенная функция с нецелым действительным показателем,  который меньше минус единицы. 30

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем,  меньшим минус единицы.  Область определения: все положительные числа.  х=0 является вертикальной асимптотой.  Область значений: все отрицательные числа.  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Функция убывает при положительных значениях.  Функция вогнутая при положительных значениях.  Точек перегиба нет.  Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.  Функция проходит через точку (1;1). 31

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Показательная функция 32

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Одной из основных элементарных функций является показательная  функция. График показательной функции y = ax , где a > 0 и a не равно  0 принимает различный вид в зависимости от значения основания а.  Разберемся в этим. Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции  принимает значение от нуля до единицы. 33

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.  Областью определения показательной функции является все множество  действительных чисел: .  Область значений: все положительные числа .  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.  Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области  определения.  Функция вогнутая при любых значениях.  Точек перегиба нет.  Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс  бесконечности.  Функция проходит через точку (0;1). 34

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Переходим к случаю, когда основание показательной  функции больше единицы, то есть, a > 1. 35

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства показательной функции с основанием большим  единицы.  Область определения показательной функции: любое действительное число.  Область значений: все положительные числа.  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .  Функция вогнутая при любом значении.  Точек перегиба нет.  Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус  бесконечности.  Функция проходит через точку (0;1). 36

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Логарифмическая  функция 37

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция  y = log a (x) , где a > 0, a не равно 1 , . Логарифмическая функция определена лишь  для положительных значений аргумента. График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от  значения основания а. Начнем со случая, когда 0 < a < 1. 38

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства логарифмической функции с основанием меньшим  единицы.  Область определения логарифмической функции: все положительные числа .  При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс  бесконечности.  Область значений: любое число .  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Логарифмическая функция убывает на всей области определения.  Функция вогнутая при положительных значениях.  Точек перегиба нет.  Горизонтальных асимптот нет.  Функция проходит через точку (1;0). 39

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции  больше единицы 40

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Свойства логарифмической функции с основанием большим  единицы.  Область определения: все положительные числа . При х стремящемся к нулю справа,  значения функции стремятся к минус бесконечности.  Областю значений логарифмической функции является все множество действительных  чисел.  Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.  Функция возрастает при положительных значениях .  Функция выпуклая при положительных значениях.  Точек перегиба нет.  Горизонтальных асимптот нет.  Функция проходит через точку (1;0). 41

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Тригонометрические функции 42

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся  к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и  перечислим свойства. Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости  значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга  на величину периода f(x + T) = f(x) , где Т ­ период), поэтому, в список свойств  тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный  период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения  аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль. Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по­порядку. 43

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Функция синус y = sin(x). Изобразим график функции синус, его называют "синусоида". 44

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Функция косинус y = cos(x). График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет  вид: 45

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Функция тангенс y = tg(x). График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет  вид: 46

МБОУ «Гимназия №7» г. Брянска Функция котангенс y = ctg(x). Изобразим график функции котангенс (его называют  "котангенсоида"): 47