Презентация по математике на тему "Комбинаторика и алгебра многочленов" ( 11 класс, алгебра)

комбинаторики в алгебре комбинаторики в алгебре Использование Использование многочленов многочленов Исполнитель: Мария Мария Руководитель Заикина Марина Вениаминовна Заикина Марина Вениаминовна Исполнитель: учащаяся 9 учащаяся 9 класса Гончарова класса Гончарова Руководитель: :

 Объект  Предмет:  Цель: Объект: : Использование алгебры многочленов. Использование алгебры многочленов. Предмет: Возможность использования Возможность использования комбинаторики в алгебре многочленов. комбинаторики в алгебре многочленов. Цель: показать возможности использования показать возможности использования комбинаторики для вывода формул сокращенного комбинаторики для вывода формул сокращенного умножения и решения практических задач. умножения и решения практических задач. Задачи:: 1)Изучить теорию основ комбинаторики, 1)Изучить теорию основ комбинаторики, 2)Вывести формулы; 2)Вывести формулы; 3)Продемонстрировать применение 3)Продемонстрировать применение полученных формул при решении полученных формул при решении практических задач. практических задач. Гипотеза: : Использование комбинаторики Использование комбинаторики способствует более рациональному способу рациональному способу способствует более решения задач. решения задач. установить связь с алгеброй многочленов; установить связь с алгеброй многочленов;  Гипотеза  Задачи

Комбинаторика – это раздел – это раздел Комбинаторика математики, в котором изучаются математики, в котором изучаются конечными множествами, т. е. над конечными множествами, т. е. над определенным числом предметов определенным числом предметов некоторые операции над некоторые операции над (или точнее, объектов). (или точнее, объектов).

Основные понятия Основные понятия комбинаторики комбинаторики Факториалом называется  Факториалом называется произведение всех натуральных произведение всех натуральных чисел от 1 до nn включительно. включительно. чисел от 1 до Количество перестановок из  Количество перестановок из различных предметов равно nn!.!. различных предметов равно Перестановки с повторениями  Перестановки с повторениями ( n 1  n 2 nn ! 1     ! n p 2 )! p n !

Степень суммы Степень суммы Комбинации букв - анаграммы - естественно Комбинации букв - анаграммы - естественно возникают при перемножении двух или возникают при перемножении двух или нескольких многочленов, а комбинаторные нескольких многочленов, а комбинаторные коэффициенты - количества анаграмм - при коэффициенты - количества анаграмм - при приведении подобных членов. приведении подобных членов. получится формула: получится формула: Если аккуратно перемножить а+в+с Если аккуратно перемножить а+в+с три раза то, три раза то, (  cba ) 3 3  a 3 b  3 c  (3 2 2  2 cbabcaba   2  2 2 bcac   6) abc

aa aaaa aa bb bb bb aa bb cc dd acac aa dd bcbc bb bb bb dd aa caca cbcb cccc cdcd dcdc dd dd2) cc dd dd aa  S dd bb dcba ( на рисунке каждый одночлен выражает площадь на рисунке каждый одночлен выражает площадь своего прямоугольника; квадрат суммы nn чисел чисел своего прямоугольника; квадрат суммы вычисляется так: надо сложить все квадраты вычисляется так: надо сложить все квадраты этих nn-чисел и прибавить удвоенную сумму -чисел и прибавить удвоенную сумму этих всевозможных попарных произведений этих всевозможных попарных произведений этих чисел. чисел.

Объясним, как можно получить возникающие здесь Объясним, как можно получить возникающие здесь коэффициенты 1,3 и 6 без утомительного коэффициенты 1,3 и 6 без утомительного умножения и собирания подобных членов. Это - умножения и собирания подобных членов. Это - уже знакомые нам количества анаграмм. Член уже знакомые нам количества анаграмм. Член может получиться только одним способом - когда может получиться только одним способом - когда из каждой скобки из каждой скобки 3a (а+(а+bb+с)(а+ +с)(а+bb+с)(а+ +с)(а+bb+с)+с) берется буква а. а. Коэффициент этих слагаемых Коэффициент этих слагаемых берется буква !3  ba 2 . Чтобы получить коэффициент при равен . 1 Чтобы получить коэффициент при равен !3 нужно из одной скобки взять bb, а из двух других нужно из одной скобки взять , , , а из двух других aa, то , то есть этому члену соответствуют анаграммы aabaab, , есть этому члену соответствуют анаграммы  )!12( abaaba, , baabaa из из двух букв и одной буквы bb; их ; их !1!2 количество количество !3  6 равно. Наконец, коэффициент при abcabc равен числу равен числу равно. Наконец, коэффициент при !1!1!1 количеству анаграмм (перестановок) слова из трех количеству анаграмм (перестановок) слова из трех двух букв aa и одной буквы  3 различных букв aa, , bb, , cc.. Аналогичная формула Аналогичная формула различных букв получится и для куба суммы большего числа получится и для куба суммы большего числа слагаемых, например слагаемых, например ( abc  dcba   (6) 2 ba   (3) e )   (   ) 3 3 a

Предположим, что в nn-ую степень возводится -ую степень возводится Предположим, что в Биноминальная формула Биноминальная формула только сумма двух слагаемых, например: только сумма двух слагаемых, например:      ) 6) ba b (4 !4  . Тогда коэффициенты, поскольку поскольку . Тогда коэффициенты, 4 !1!3 получаемые при возведении в nn-ую степень суммы -ую степень суммы получаемые при возведении в  ab !4  6 !2!2  2 ba 2 ba 4 ab 4 3 ba 3 ba 4 a  6 4 a 2 3 4 4 2 3  4 b ( двух слагаемых равны числу анаграмм слова из kk-- двух слагаемых равны числу анаграмм слова из букв ((bb) ) и (и (nn--kk) - букв ) - букв (а), (а), то есть из формулы то есть из формулы букв  С k n  )1 ( ( nn ! n а+а+b b изиз )! kkn ! илиили    )1 ( kn ! k (  nba ) C k n  Получаем Получаем  0 aс n n  1 ac n n  1 b   k ac n  kn  k b    n n bc n Эта формула называется биномом Ньютона. Эта формула называется биномом Ньютона.

Иногда применяют более компактную Иногда применяют более компактную запись запись Формулы бинома Ньютона Формулы бинома Ньютона:: aC    kn ba  b k  0 k n k Здесь знак означает суммирование по Здесь знак означает суммирование по  k 0 n ( n ) n всемвсем до nn. Коэффициенты . Коэффициенты целым целым k k от от 00 до называют называют биноминальными. биноминальными.

Треугольник Паскаля Треугольник Паскаля Биноминальные Биноминальные коэффициенты коэффициенты степень степень n-n- 11 22 33 44 55 66 77 88 1 11 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……

Свойства Треугольника Свойства Треугольника Треугольник Паскаля обладает массой Треугольник Паскаля обладает массой Паскаля Паскаля интереснейших свойств. интереснейших свойств. С его помощью можно просто, быстро и  С его помощью можно просто, быстро и точно можно возводить в любую степень точно можно возводить в любую степень a+b). Правда коэффициенты . Правда коэффициенты двучлен (a+b) двучлен ( разложения бинома мы находим разложения бинома мы находим рекуррентно, т. е. для того, чтобы узнать рекуррентно, т. е. для того, чтобы узнать коэффициенты разложения бинома седьмой коэффициенты разложения бинома седьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы степени, надо знать их для шестой, а чтобы знать их для шестой – сначала найти их для знать их для шестой – сначала найти их для пятой и так далее до самого начала. пятой и так далее до самого начала.  Строки треугольника Паскаля дают суммы, Строки треугольника Паскаля дают суммы, равные равные n2

Таким образом комбинаторные Таким образом комбинаторные формулы позволяют формулы позволяют нерекуррентным способом, без нерекуррентным способом, без треугольника Паскаля, узнать треугольника Паскаля, узнать коэффициенты любой степени коэффициенты любой степени двучлена. Например, двучлена. Например, коэффициенты при 32-й коэффициенты при 32-й !32 степени двучлена: степени двучлена: 15 ba !17!15 15ba 17 17

Полученные нами Полученные нами формулы формулы  6) abc   )   ) 3 4  b 2  4 ab  n n bc n ( ( 3 2 2 3 3  a ( dcba        2 2 2 2 3 (3 ) b cba bcac cbabcaba c        2 3 dcba ( abc (6) e a ba ) ( (3)         5 3 4 5 e a ba bca ) (20 (5) ) (       (60 2 bcd abcde ) (120 ) a       3 2 3 4 3 2 ba 6) (4 ba ab 6 4 ba a ba       1    k n 0 n k 1 kn ac b ac ac b n n n  b a  n ba ) ( ba  4 ) 4 4 2

Применение формул для Применение формул для решения практических решения практических задач. задач.

Возведение двучлена в Возведение двучлена в степень степень  Упростить выражение Упростить выражение x ( )1 4  (40 x  3 )1  (80 x  2 )1  32 5  x (10  )1 Решение. Это выражение похоже на многочлен, полученный в результате  возведения в пятую степень двучлена a + b, в котором a=x­1, b=2.        Действительно, )2)1 (5 x (10  2  x (80  x  x  2  (80 2)1 32 (10 x x (40  (5 x  )1  2  4 (10  x  x 2 )1 )1  )1 )1 )1 )1 )1     x ( (   2 3 4 )1  5 2 3 3 5 5 4  2 5 ,  (( x  Следовательно,  данное  выражение  тождественно  равно  степени  , т. е.  5)2)1  (( x ( x 5)1

Квадрат суммы Квадрат суммы 2 4  ( ( x При каком значении aa выражение выражение  При каком значении )2 нескольких слагаемых нескольких слагаемых )2 тождественно равно многочлену второй тождественно равно многочлену второй степени относительно xx?? степени относительно Решение. Решение. Раскрыв скобки в выражении Раскрыв скобки в выражении  x и приведя подобные члены, получим многочлен и приведя подобные члены, получим многочлен  2( xa ) 20( ax ax )2 )2    x    4( )32 )8 xx ..   a x 12 3x Согласно  Согласно a условию коэффициент при должен условию коэффициент при должен равняться нулю, т. е. -(2 -(2aa+8)=0+8)=0. Отсюда равняться нулю, т. е. 44. Подставляя это значение . Подставляя это значение aa, найдем , найдем искомый многочлен: искомый многочлен:  16 12  x 4 2 x ( x 4  ( 3 2 3 2 2 2  . Отсюда aa=-=-

Применение формул для Применение формул для приближенных приближенных вычислений вычислений Вычислить Вычислить ,1 с точностью до 0,000001 0,000001 с точностью до 002 5 Решение. Решение. Воспользуемся формулой бинома: Воспользуемся формулой бинома:  4 002  ,0 ,0 5 5 ,0 002 ,0 3 002 01,01 ,0 00004   10 2 1  3 1 ,0 5 1   2 002  4 15  10  00000008 )002 ,01(  010040 ,0 002 Когда второе число бинома значительно меньше единицы, Когда второе число бинома значительно меньше единицы, то члены разложения , содержащие высокие то члены разложения , содержащие высокие степени xx, становятся очень малыми. При вычислениях, не , становятся очень малыми. При вычислениях, не степени требующих высокой точности, можно отбросить эти малые требующих высокой точности, можно отбросить эти малые члены, если они меньше допустимой погрешности члены, если они меньше допустимой погрешности вычислений. В частности, пренебрегая второй и более вычислений. В частности, пренебрегая второй и более высокими степенями xx, получаем приближенные формулы: , получаем приближенные формулы: высокими степенями ,015  ,1 0000000000 00032 1(  nx) 1(  x k )  1 kx

Мы  сравнили  результаты  проведенных  нами  вычислений  с  результатами вычислений на микрокалькуляторе: 11 22 33 44 55 ,10,  010040 101004 0, ,1 006  101004 010040 006 ,1 ,1 ,1 2413 ,1 2413 999,0 988,0 Таким  образом,  мы  видим,  что  результаты  наших  вычислений отличаются высокой точностью.

Заключение. Заключение. Таким образом, без утомительного Таким образом, без утомительного умножения и собирания подобных умножения и собирания подобных членов с помощью комбинаторных членов с помощью комбинаторных формул мы можем возвести в степень формул мы можем возвести в степень любую сумму, найти любой ее член, и любую сумму, найти любой ее член, и наоборот, зная несколько ее членов, наоборот, зная несколько ее членов, найти слагаемые данной суммы. найти слагаемые данной суммы.

Список литературы Список литературы Агаханов, Н. К. Математическая олимпиада школьников Агаханов, Н. К. Математическая олимпиада школьников / Н. К. Агаханов, Л. П. Купцов, Ю. В. Нестеренко, С. В. / Н. К. Агаханов, Л. П. Купцов, Ю. В. Нестеренко, С. В. Резниченко, А. Н. – М. : Просвещение, 1997. – 200 с. Резниченко, А. Н. – М. : Просвещение, 1997. – 200 с. Васильев, Н. Б. Комбинаторика – многочлены – Васильев, Н. Б. Комбинаторика – многочлены – вероятность. Квант №1 / Н. Б. Васильев. – М. : вероятность. Квант №1 / Н. Б. Васильев. – М. : Просвещение, 1996. – 23 с. Просвещение, 1996. – 23 с. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики / Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М. : Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М. : Просвещение, 1996. – 320 с. Просвещение, 1996. – 320 с. Колмогоров, А. Н. Введение в теорию вероятностей / А. Колмогоров, А. Н. Введение в теорию вероятностей / А. Н. Колмогоров, В. М. Журбенко, А. В. Прохоров. – М. : Н. Колмогоров, В. М. Журбенко, А. В. Прохоров. – М. : Наука, 1982. Наука, 1982. Лютикас, В. Школьнику о теории вероятностей / В. Лютикас, В. Школьнику о теории вероятностей / В. Лютикас. – М. : Просвещение, 1983. – 127 с. Лютикас. – М. : Просвещение, 1983. – 127 с. Макарычев, Ю. Н. Дополнительные главы к школьному Макарычев, Ю. Н. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. – учебнику 8 класса / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. – М. : Просвещение, 1998. – 207 с. М. : Просвещение, 1998. – 207 с. Успенский, В. А. Треугольник Паскаля / В. А. Успенский. Успенский, В. А. Треугольник Паскаля / В. А. Успенский. – М. Наука, 1979. – М. Наука, 1979. Халамайзер, А. Я. Комбинаторика и бином Ньютона / А. Халамайзер, А. Я. Комбинаторика и бином Ньютона / А. Я. Халамайзер. – М. : Просвещение, 1980. Я. Халамайзер. – М. : Просвещение, 1980.        

Спасибо за Спасибо за внимание! внимание! к содержанию