Презентация по математике на тему "Сочетания"

Сочетания

Повторение изученного материала перестановками из nn элементов.  элементов. Дайте определение перестановкам из n элементов. Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга  только порядком расположения в них элементов,  называются перестановками из  !n Как найти число перестановок из n элементов? Дайте определение размещениям из n элементов по k. элементов по kk называется любое  Размещениями из n n элементов по  Размещениями из  множество, состоящее из любых  k  элементов, взятых в  определённом порядке из данных n элементов. Как найти число размещений из n элементов по k? Pn  ( k  ))1 Ak n   )(1 ( nn n  Ak n (  ... )2 n ! n  kn )! (

Имеется  5  гвоздик  разного  цвета  (a,  b,  c,  d,  e).  Сколько имеется различных вариантов составления  букетов из трех гвоздик? Переберем возможные варианты: abс, abd, abe, acd, ace, ade,  bcd, bce, bde,  cde. Мы перебрали все возможные способы составления  букетов,  в  которых  по­разному  сочетаются  3  гвоздики из данных 5.  Говорят, что мы составили все  сочетания из пяти  возможные сочетания из пяти  элементов по три. элементов по три

Определение: Сочетанием из n элементов  по k называется любое множество, состоящее из k   элементов, выбранных из данных n элементов. В чем отличие сочетаний от В  сочетаниях  не  имеет  значения,  в  каком  ­  порядке  указаны  элементы.  одинаковые элементы). Число сочетаний из n элементов по k  обозначают          (читают: «С из n по k»). Выведем формулу для вычисления числа  сочетаний из n элементов по k.  размещений? (ab  и  ba  k nС

Пусть дано n элементов. Выбираем из них все возможные  .k nС сочетания из k элементов. Число таких сочетаний равно         В каждом сочетании из k элементов можно сделать  перестановки этих элементов.  .kР Число таких перестановок равно        Если перемножить число сочетаний на число перестановок в  каждом сочетании, то мы получим число размещений из n  элементов по k.   PC .k Значит,                               k A n C k n nn (  )(1 n  C k n  ( k  ))1 k n k A n P k  ( n )2 ... ! k ! n  !) (! knk C k n 

Пример  1.  Из  15  членов  туристической  группы  надо  выбрать трех дежурных.  Сколькими  способами можно  сделать этот выбор? Решение. В каждой тройке дежурных, выбранных из 15  человек, порядок не важен.  Значит, это размещения из 15 элементов по 3. 3 15С  !15  15(!3  !15  !12!3 )!3 Ответ: 455 способов. 7 5  13!12  14 15  !12321  455

Пример 2. Из вазы с фруктами, в которой 9 яблок и 6  груш,  надо  выбрать  3  яблока  и  2  груши.  Сколькими  способами можно сделать такой выбор? Решение. Выбор 3 яблок из 9  ­ это сочетания из 9 элементов по 3.  !9   !9  !6!3   987!6  !6321 3 9С  84 Выбор 2 яблок из 6  ­ это сочетания из 6 элементов по 2.    )!39(!3   2 6С  !6  )!26(!2 !6 Так как при каждом из 84 выборов яблок можно сделать   !4!2 15  выборов  груш,  то  выбор  фруктов,  о  котором  говорится в задаче можно сделать  84  15 = 1260 способами. Ответ: 1260 способов.  65!4  !421  15 

Задачи