Презентация по математике "Перестановки, размещения и сочетания в решении не простых задач"

Перестановки.  Перестановки.  Размещения. Сочетания. Размещения. Сочетания. (в решении не простых задач) (в решении не простых задач) автор: учитель математики МБОУ  автор: учитель математики МБОУ  «СОШ № 3939» г. Набережные Челны » г. Набережные Челны «СОШ №  Казанцева Анна Николаевна Казанцева Анна Николаевна

Содержание Содержание 1. Перестановки 1. Перестановки 2. Размещения 2. Размещения 3. Правило умножения  3. Правило умножения  (метод точек) (метод точек) (( 6. Задачи  6. Задачи  )) 9,9,1010 7. Проверь себя! 7. Проверь себя! (( 4. Задачи  4. Задачи  3,3, 4,4, 5,5, 6,6, 77)) 5. Сочетания 5. Сочетания

Перестановки Перестановки  из nn элементов   элементов  Перестановкой из  Перестановкой называется каждое расположение  называется каждое расположение  этих элементов   этих элементов   в определённом порядке.. в определённом порядке Рn = 1∙2∙3∙…∙(n­2)(n­1)n = n!

Задача 1. Задача 1.     Сколько различных четырёхзначных  Сколько различных четырёхзначных  чисел, в которых цифры не повторяются,  чисел, в которых цифры не повторяются,  можно составить из цифр 0,2,4,6 ? можно составить из цифр 0,2,4,6 ? Решение: Решение: Р­ количество перестановок из 4 цифр. 4 Р­ количество перестановок из 3 цифр,  3 в которых 0 оказался на первом месте. Р – Р = 4! – 3! = 24 – 6 = 18 4 3

Размещения Размещения  элементов по kk    из nn элементов по  Размещением из  Размещением называется  любое множество, называется  любое множество, состоящее из любых kk элементов,  элементов, состоящее из любых  взятых  в определённом порядке взятых   элементов. элементов. в определённом порядке из   из nn   k Аn = n(n­1)(n­2)∙…∙(n­(k­1))

Задача 22.. Задача      Сколько различных трёхзначных чисел, в  Сколько различных трёхзначных чисел, в  которых цифры не повторяются, можно  которых цифры не повторяются, можно  составить из цифр 0,11,2,3,4 ? ,2,3,4 ? составить из цифр 0, Решение: Решение: 5А3 4А2 5А3 ­ количество чисел всего. ­ количество чисел, в которых 0  оказался на первом месте. 4А2–   = 5∙4∙3 – 4∙3 = 60 – 12 = 48

Правило умножения  Правило умножения  Если существует nn  вариантов выбора  вариантов выбора  Если существует  первого элемента и для каждого из них  первого элемента и для каждого из них  есть mm вариантов выбора второго   вариантов выбора второго  есть  элемента, то всего существует n n ∙ ∙ m m  элемента, то всего существует  различных пар с выбранными первым и  различных пар с выбранными первым и  вторым элементами. вторым элементами.

Правило умножения  Правило умножения  (метод точек) (метод точек) Когда в решении важен порядок, каждое  Когда в решении важен порядок, каждое  занимаемое место обозначается точкой, под  занимаемое место обозначается точкой, под  точкой указывается число – количество  точкой указывается число – количество  возможных элементов для данного места. возможных элементов для данного места. Пример: На станции 5 запасных путей. Сколькими  Пример: способами можно расставить на них 3  поезда?    ● ● ●    5   4   3   Решение:   Решение:    5 ∙ 4 ∙ 3 = 60

Правило умножения  Правило умножения  (метод точек) (метод точек) Задача 1     Сколько различных четырёхзначных  Сколько различных четырёхзначных  чисел, в которых цифры не повторяются,  чисел, в которых цифры не повторяются,  можно составить из цифр 0,2,4,6 ? можно составить из цифр 0,2,4,6 ? Решение: ● ● ● ● 3 3 2 1       На 1 месте – любая из трёх цифр (исключая 0) На 2 месте – любая из трёх цифр (исключая выбранную цифру) На 3 месте – любая из двух цифр (исключая выбранные две цифры) На 4 месте – оставшаяся цифра (исключая выбранные цифры) 3∙3∙2∙1 = 18

Правило умножения  Правило умножения  (метод точек) (метод точек) Задача 2     Сколько различных трёхзначных чисел, в  Сколько различных трёхзначных чисел, в  которых цифры не повторяются, можно  которых цифры не повторяются, можно  составить из цифр 0,1,2,3,4 ? составить из цифр 0,1,2,3,4 ? Решение:   ● ● ●   4 4 3   На 1 месте – любая из четырёх цифр (исключая 0) На 2 месте – любая из четырёх цифр (исключая выбранную цифру) На 3 месте – любая из трёх цифр (исключая выбранные две цифры) 4∙4∙3 = 48

Задача 3. Задача 3.  и Игорь Игорь –   –  Семь мальчиков, в число которых входят  Семь мальчиков, в число которых входят  ОлегОлег и  Игорь, становятся в ряд. Найдите , становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: число возможных комбинаций, если: а) а) ОлегОлег должен стоять последним;  должен стоять последним; б) б) ОлегОлег должен стоять первым, а   должен стоять первым, а Игорь последним; последним; в) в) Олег  Игорь должны стоять рядом.  должны стоять рядом. Олег и и Игорь

Решение задачи 3: ● ● ● ● ● ● ●О     6  5  4  3  2  1 ● ● ● ● ● ● ●И О      5  4  3  2  1 ● ● ● ● ● ● ● И   5  4  3          2  1 О                    а)  б)  в)  ОИ – занимают одну из шести позиций ИО – занимают одну из шести позиций   6∙5∙4∙3∙2∙1 = 720 5∙4∙3∙2∙1 = 120   5∙4∙3∙2∙1 = 120 120∙(6+6) = 1440

Задача 4. Задача 4. мальчиков и   и  Сколькими способами 5 мальчиков Сколькими способами 5  5 5 девочек девочек могут занять в театре в   могут занять в театре в  одном ряду места с 1 по 10? одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это  Сколькими способами они могут это  мальчики будут сидеть  сделать, если мальчики  будут сидеть  сделать, если  девочки – на  на нечётных местах, а девочки  – на  на нечётных местах, а  чётных? чётных?

а)  Решение задачи 4: ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●     10 9  8 7  6  5 4  3  2 1 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 3 628 800 м     м    м     м    м ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●   б)   5     4      3     2     1     д     д     д     д     д ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●        5     4      3     2     1                               5∙4∙3∙2∙1 = 120 5∙4∙3∙2∙1 = 120   120 ∙120 = 14400

Задача 5. Задача 5. На страницах альбома 6 свободных  На страницах альбома 6 свободных  мест для фотографий. Сколькими  мест для фотографий. Сколькими  способами можно вложить в  способами можно вложить в  свободные места: свободные места: а) 2 фотографии; а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий ? в) 6 фотографий ?

Решение задачи 5. а)   ● ●    6   5 б)     ● ● ● ●     6   5  4  3    6 ∙ 5 = 30 6∙5∙4∙3 = 360 в)     ● ● ● ● ● ●   6   5   4   3  2   1             6∙5∙4∙3∙2∙1 = 720

Задача 6. Задача 6. Из трёхзначных чисел, записанных с  Из трёхзначных чисел, записанных с  помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без  помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без  повторений), сколько таких, в  повторений), сколько таких, в  которых: которых: а) не встречаются цифры 6 и 7; а) не встречаются цифры 6 и 7; б) цифра 8 является последней? б) цифра 8 является последней?

Решение задачи 6. а)     ● ● ●       7   6  5   б)      8 ● ● ●    8   7   1      7∙6∙5 = 210 8∙7∙1 = 56

Задача 7. Задача 7. Сколько различных трёхзначных  Сколько различных трёхзначных  чисел (без повторений) можно  чисел (без повторений) можно  составить из цифр 1,2,3,4,5 таких,  составить из цифр 1,2,3,4,5 таких,  которые являются: которые являются: а) чётными; а) чётными; б) кратными 5? б) кратными 5?

Решение задачи 7. а)     ● ● ●       4   3  2   б)      5 ● ● ●     4   3   1      4∙3∙2 = 24 4∙3∙1 = 12

Сочетания Сочетания  элементов по kk   Сочетанием из   из nn элементов по  Сочетанием называется  любое множество, называется  любое множество, состоящее из любых kk элементов,  элементов, состоящее из любых  выбранных из nn элементов.  элементов. выбранных из  Сn k= ___________ k!∙(n – k)! n!

Задача 8. Задача 8. Учащимся дали список из 10 книг,  Учащимся дали список из 10 книг,  которые рекомендуется прочитать во  которые рекомендуется прочитать во  время каникул. Сколькими способами  время каникул. Сколькими способами  ученик может выбрать из них 6 книг? ученик может выбрать из них 6 книг? Решение: Порядок прочтения книг не важен С10 6= ___________ 6!∙(10 – 6)! = 210  10!

Задача 9. Задача 9. На полке стоит 12 книг: англо­русский  На полке стоит 12 книг: англо­русский  словарь и 11 художественных  словарь и 11 художественных  произведений на английском языке.  произведений на английском языке.  Сколькими способами читатель может  Сколькими способами читатель может  выбрать 3 книги, если: выбрать 3 книги, если: а) словарь нужен ему обязательно; а) словарь нужен ему обязательно; б) словарь ему не нужен? б) словарь ему не нужен?

Решение задачи 9. а) С11 2=  ___________ 2!∙(11 – 2)! = 55  11! б) С11 3=  ___________ 3!∙(11 – 3)! = 165  11!

Задача 10. Задача 10.  и 12 12  В классе 16 мальчиков 16 мальчиков и  В классе  девочек. Для уборки территории  . Для уборки территории  девочек 4 мальчика и  требуется выделить 4 мальчика  и  требуется выделить  3 девочки. Сколькими способами  . Сколькими способами  3 девочки это можно сделать? это можно сделать?

Решение задачи 10. 4 С16 ● 3 С12 12! 16! = ___________ 4!∙(16 – 4)! х х ___________ 3!∙(12 – 3)! = 400 400

Проверь себя! Проверь себя! Задача 11 Задача 11 Задача 12 Задача 12 Задача 13 Задача 13 Задача 14 Задача 14 Задача 15 Задача 15

Задача 11. Задача 11.  и 4 девочки 4 девочки. Хотят сесть  . Хотят сесть  5 мальчиков и  5 мальчиков на девятиместную скамейку так,  на девятиместную скамейку так,   девочка сидела  чтобы каждая сидела  чтобы  между двумя мальчиками между  способами они могут это сделать? способами они могут это сделать? каждая   девочка  двумя мальчиками. Сколькими  . Сколькими

Решение задачи 11.        м     м    м     м    м ● ● ● ● ● ● ● ● ●    5     4      3     2     1               5∙4∙3∙2∙1 = 120     д     д     д     д    ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4∙3∙2∙1 = 24           4      3     2     1               120 ∙24 = 2880

Задача 12. Задача 12. Петров, надо отправить в наряд  , надо отправить в наряд  Из 12 солдат, в число которых  входят  Из 12 солдат, в число которых  входят  Иванов и и Петров Иванов  трёх человек. Сколькими способами  трёх человек. Сколькими способами  можно это сделать, если: можно это сделать, если: а) а) Иванов  и Петров наряд обязательно; наряд обязательно; Иванов и   и Петров б) б) Иванов Иванов должен пойти в наряд, а   должен пойти в наряд, а  в) в) Иванов Петров – остаться?  – остаться? Петров Петров  должны остаться; должны остаться; Иванов и  Петров должны пойти в   должны пойти в

Решение задачи 12. а) 12 – 2 = 10. Остаётся выбрать одного  солдата из 10. Это можно сделать 10  способами. б) С10 в) С10 3=  _____________ 2 =  ____________ 10! 10! 3!∙(10 – 3)! =  120  2!∙(10 – 2)! =  45

Задача 13. Задача 13. В шахматном кружке занимается 16  В шахматном кружке занимается 16  человек. Сколькими способами тренер  человек. Сколькими способами тренер  может выбрать из них для предстоящего  может выбрать из них для предстоящего  турнира: турнира: а) команду из четырёх человек; а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав  б) команду из четырёх человек, указав  при этом, кто из них будет играть на  при этом, кто из них будет играть на  первой, второй, третьей и четвёртой  первой, второй, третьей и четвёртой  досках? досках?

Решение задачи 13. 4=  _____________ а) С16 16! 4!∙(16 – 4)! =  1820  б) Здесь важен порядок! ● ● ● ●         16   15  14  13          16∙15∙14∙13 = 43680

Задача 14. Задача 14. Для ремонта школы прибыла бригада  Для ремонта школы прибыла бригада  из 12 человек. Трёх из них надо  из 12 человек. Трёх из них надо  отправить на 4 этаж, а четырёх из  отправить на 4 этаж, а четырёх из  оставшихся на пятый этаж.  оставшихся на пятый этаж.  Сколькими способами можно это  Сколькими способами можно это  сделать? сделать?

Решение задачи 14. 3=  _____________ 12! С12 3!∙(12 – 3)! =  220  12 – 3 = 9 4 С9 9! =  ____________ 4!∙(9 – 5)! =  126  220 ∙ 126 = 27 720

Задача 15. Задача 15. Номер машины в некотором городе  Номер машины в некотором городе  состоит из двух различных букв,  состоит из двух различных букв,  взятых из набора М, Н, К, Т, С  и трёх  взятых из набора М, Н, К, Т, С  и трёх  различных цифр. Сколько машин  различных цифр. Сколько машин  можно обеспечить такими номерами? можно обеспечить такими номерами?

Решение задачи 15. Здесь важен порядок! ● ●      5   4                1) выбор набора букв: 5 ∙ 4 = 20 2) выбор числа: ● ● ●             10  9   8    10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 3) количество номеров: 720 ∙ 20 = 14 400

Удачи!!!