Презентация по математике "Введение координатно-параметрического метода с использованием плоскости хОа"

Введение Введение координатно- координатно- метода с метода с параметрического параметрического использованием использованием плоскости хОа. плоскости хОа. «Но когда эти науки (алгебра и «Но когда эти науки (алгебра и геометрия) геометрия) объединились, они энергично объединились, они энергично поддержали поддержали друг друга и быстро зашагали к друг друга и быстро зашагали к совершенству». совершенству». Ж.А.Лагранж.. Ж.А.Лагранж

Биографическая справка. ► Биографическая справка. Алгоритм построения Геометрическ ► Алгоритм построения Геометрическ ого Места Точек. ого Места Точек. Графический подход при решении з ► Графический подход при решении з адач с параметрами. адач с параметрами. Задание ► Задание Решение ► Решение Ответ ► Ответ Автор ► Автор     выход

Биографическая справка. Биографическая справка. Рене Декарт Рене Декарт (1596 – 1650) (1596 – 1650) Рене Декарт родился в 1596г. На юге Рене Декарт родился в 1596г. На юге Франции в небогатой дворянской семье. Франции в небогатой дворянской семье. Восьми лет отец отправил его учиться в Восьми лет отец отправил его учиться в католический коллеж в городе Ла Флеш. католический коллеж в городе Ла Флеш. Обучение в школах того времени было Обучение в школах того времени было оторвано от реальной жизни. Оно оторвано от реальной жизни. Оно опиралось на церковные догмы и опиралось на церковные догмы и авторитет античных мудрецов, прежде авторитет античных мудрецов, прежде всего Платона и Аристотеля. всего Платона и Аристотеля. Неудивительно, что активно мыслящим Неудивительно, что активно мыслящим ученикам, к числу которых относился Рене ученикам, к числу которых относился Рене Декарт, полученные знания Декарт, полученные знания представлялись неполными. представлялись неполными. Окончив колледж, Декарт сменил Окончив колледж, Декарт сменил немало занятий: вел светскую жизнь, немало занятий: вел светскую жизнь, служил в армии, путешествовал. служил в армии, путешествовал.     Меню

Биографическая справка.. Биографическая справка В 1628г он поселился в В 1628г он поселился в Голландии, недавно пережившей Голландии, недавно пережившей национально – освободительную национально – освободительную буржуазную революцию и буржуазную революцию и ставшей одним из передовых ставшей одним из передовых государств того времени. В государств того времени. В Голландии издавались сочинения Голландии издавались сочинения авторов, во многом авторов, во многом расходившиеся с церковным расходившиеся с церковным учением, в том числе книги учением, в том числе книги Декарт прожил в Голландии 20 лет. Декарт прожил в Голландии 20 лет. Коперника и Галилея. Коперника и Галилея. Именно там в 1637г. Вышла в свет его Именно там в 1637г. Вышла в свет его знаменитая книга « Рассуждения о знаменитая книга « Рассуждения о методе». В ней Декарт сформулировал методе». В ней Декарт сформулировал четыре принципа, которым должен четыре принципа, которым должен следовать ученый . следовать ученый . Истин, не подлежащих сомнению, по Декарту, совсем Истин, не подлежащих сомнению, по Декарту, совсем немного. Самая знаменитая из них : знаменитая из них : немного. Самая « Я мыслю, - следовательно, я « Я мыслю, - следовательно, я существую». существую».

Биографическая справка. Биографическая справка. В истории математики Декарт В истории математики Декарт обессмертил свое имя тем, что связал обессмертил свое имя тем, что связал кривые на плоскости с уравнениями, кривые на плоскости с уравнениями, которыми они описываются в которыми они описываются в координатной системе. Он выяснил, что координатной системе. Он выяснил, что уравнения с переменными в первой уравнения с переменными в первой степени задают на плоскости прямые степени задают на плоскости прямые линии. Символика, предложенная линии. Символика, предложенная Декартом, сохранилась до сих пор. Декартом, сохранилась до сих пор. Вслед за ним мы обозначаем Вслед за ним мы обозначаем переменные последними буквами переменные последними буквами , у, zz, а для латинского алфавита: xx, у, , а для латинского алфавита: задания величин используем начальные задания величин используем начальные латинские буквы: aa, , bb, , cc и т.д. Нынешнее и т.д. Нынешнее латинские буквы: обозначение степени aaⁿ также ⁿ также обозначение степени предложено Декартом. предложено Декартом. . . В 1649г. По приглашению шведской королевы Декарт В 1649г. По приглашению шведской королевы Декарт переехал в Стокгольм. Но северный климат оказался для переехал в Стокгольм. Но северный климат оказался для него очень холоден. Год спустя ученый умер от него очень холоден. Год спустя ученый умер от воспаления легких. воспаления легких.

Биографическая справка Биографическая справка 8 июня 1637 года в голландском ► 8 июня 1637 года в голландском городе Лейдене в типографии городе Лейдене в типографии Жана Мэре появилась на свет Жана Мэре появилась на свет книга с длинным по обычаю книга с длинным по обычаю своего времени названием своего времени названием «Рассуждение о методе, «Рассуждение о методе, позволяющем направлять позволяющем направлять разум и отыскивать истину разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые Геометрия, которые являются приложением являются приложением этого метода». Это был этого метода». Это был первый печатный труд одного из первый печатный труд одного из крупнейших математиков крупнейших математиков Европы Рене Декарта, Европы Рене Декарта, обессмертивший имя автора. обессмертивший имя автора.

Биографическая справка Биографическая справка К сочинению « Рассуждение о К сочинению « Рассуждение о методе...» Декарт написал три методе...» Декарт написал три приложения, которые должны приложения, которые должны были разъяснить и были разъяснить и проиллюстрировать его проиллюстрировать его научные методы, - « научные методы, - « Диоптрику», «Метеоры» и Диоптрику», «Метеоры» и «Геометрию». Последнее «Геометрию». Последнее приложение обессмертило имя приложение обессмертило имя ученого в большей степени, ученого в большей степени, чем все его открытия. чем все его открытия. Декарт создал метод координат, с помощью Декарт создал метод координат, с помощью которого установил тесную связь между которого установил тесную связь между алгеброй и геометрией, что позволило решать алгеброй и геометрией, что позволило решать алгебраические задачи с помощью геометрии, алгебраические задачи с помощью геометрии, и , наоборот, использовать алгебраические и , наоборот, использовать алгебраические задачи в геометрии задачи в геометрии

Биографическая справка. Биографическая справка. Вслед за Декартом введем ► Вслед за Декартом введем ось абсцисс, начало ось абсцисс, начало отсчета, положительное отсчета, положительное направление и единичный направление и единичный отрезок. Хотя Декарт ввел отрезок. Хотя Декарт ввел только одну ось, только одну ось, существование другой им существование другой им предполагалось. Введем ось предполагалось. Введем ось ординат также с ординат также с положительным положительным направлением и единичным направлением и единичным отрезком. Единичные отрезком. Единичные отрезки на осях будем отрезки на осях будем брать равными, а угол брать равными, а угол между осями прямой. Мы между осями прямой. Мы имеем прямоугольную имеем прямоугольную систему координат , систему координат , которую называют еще которую называют еще декартовой. декартовой.     Меню

построения Геометрического Места Точек построения Геометрического Места Точек Алгоритм Алгоритм (ГМТ) (ГМТ) заданного равенства: заданного равенства: 1)Из заданного равенства выразить 1)Из заданного равенства выразить переменную – ординату, как функцию переменную – ординату, как функцию другой переменной – абсциссы. другой переменной – абсциссы. 2) Построить график полученной 2) Построить график полученной функции – искомое ГМТ. функции – искомое ГМТ. Замечание: Замечание: при выполнении (1) может при выполнении (1) может получиться не одна функция, а несколько. получиться не одна функция, а несколько. Тогда ГМТ состоит из объединения Тогда ГМТ состоит из объединения полученных линий. полученных линий.

Алгоритм Алгоритм построения Геометрического Места Точек (ГМТ) построения Геометрического Места Точек (ГМТ) заданного неравенства: заданного неравенства: 1)заданное неравенство преобразовать таким образом, чтобы 1)заданное неравенство преобразовать таким образом, чтобы переменная – ордината была уединена, а все переменные -абсциссы- переменная – ордината была уединена, а все переменные -абсциссы- находились в другой части неравенства (при этом возможно, что находились в другой части неравенства ( при этом возможно, что исходное неравенство заменится на эквивалентную ему схему из нескольких исходное неравенство заменится на эквивалентную ему схему из нескольких неравенств). неравенств). 2) Для построения ГМТ заданного неравенства в котором 2) Для построения ГМТ заданного неравенства в котором переменная – ордината уединена, надо: переменная – ордината уединена, надо: А) построить границу искомого ГМТ путем замены неравенства А) построить границу искомого ГМТ путем замены неравенства равенством и построить ГМТ равенства (алгоритм выше). равенством и построить ГМТ равенства (алгоритм выше). б)Построенная граница искомого ГМТ делит координатную б)Построенная граница искомого ГМТ делит координатную плоскость на части (куски). плоскость на части (куски). в) Методом пробной точки определить , какие куски отвечают в) Методом пробной точки определить , какие куски отвечают заданному неравенству; заданному неравенству; г)Куски плоскости, входящие в искомое ГМТ, заштриховать, как г)Куски плоскости, входящие в искомое ГМТ, заштриховать, как множество точек входящих в искомое ГМТ. множество точек входящих в искомое ГМТ. д)Если граница или ее часть входит в искомое ГМТ, ее изобразить д)Если граница или ее часть входит в искомое ГМТ, ее изобразить сплошной линией, если не входит – пунктирной. сплошной линией, если не входит – пунктирной. 3)Построенные ГМТ заданные неравенствами перечисленными в 3)Построенные ГМТ заданные неравенствами перечисленными в схеме, надо объединить или пересечь в соответствии со схемой. схеме, надо объединить или пересечь в соответствии со схемой. Замечание: Если чертеж трудночитаемый, то рекомендуется Если чертеж трудночитаемый, то рекомендуется Замечание: письменно указывать входит та или иная часть границы или нет письменно указывать входит та или иная часть границы или нет

Графический подход Графический подход при решении задач с параметрами в при решении задач с параметрами в плоскости ХоА: плоскости ХоА: 1)Построить ГМТ в плоскости ХоА, чьи координаты 1)Построить ГМТ в плоскости ХоА, чьи координаты удовлетворяют условию задачи; удовлетворяют условию задачи; 2)Прочитать картинку ( при каждом фиксированном 2)Прочитать картинку ( при каждом фиксированном значении параметра а выверить те абсциссы, для значении параметра а выверить те абсциссы, для которых (х;а) принадлежит построенному ГМТ); которых (х;а) принадлежит построенному ГМТ); 3)Соотнести найденное множество абсцисс при 3)Соотнести найденное множество абсцисс при данном значении параметра а с условием задачи; данном значении параметра а с условием задачи; 4)Записать проект решения, внести в него 4)Записать проект решения, внести в него необходимые уточнения, путем вспомогательных необходимые уточнения, путем вспомогательных вычислений и записать ответ. вычислений и записать ответ. Когда этот метод работает? Когда этот метод работает? Способ эффективен, когда можно построить ГМТ, Способ эффективен, когда можно построить ГМТ, т.е. параметр а входит линейно; или можно после т.е. параметр а входит линейно; или можно после преобразований привести к системе или преобразований привести к системе или совокупности неравенств или равенств; или когда совокупности неравенств или равенств; или когда можно построить окружность или полуокружность. можно построить окружность или полуокружность.     Меню

Задание Задание Найти все значения параметра а, ► Найти все значения параметра а, при которых в множестве при которых в множестве решений неравенства решений неравенства xx((xx-2-2aa+6)++6)+aa²<12 ²<12aa-6а-6а22/х /х можно расположить два отрезка можно расположить два отрезка длиной 4 и длиной 1, не длиной 4 и длиной 1, не имеющих общих точек. имеющих общих точек. Меню

²<12aa-6а-6а22/х /х 2ах+6х+а²-²-12а+6а²/х<0 12а+6а²/х<0 – 12ах +6а22)/х<0 )/х<0 Решение: Решение: xx((xx-2-2aa+6)++6)+aa²<12 хх²-²-2ах+6х+а (х-а)²+(6х (х-а)²+(6х22 – 12ах +6а (х-а)²+6(х-а)²/х< 0 0 (х-а)²+6(х-а)²/х< (х-а)² (1+6/х)<0 (х-а)² (1+6/х)<0 (х-а)22(х+6)/х <0 (х-а) (х+6)/х <0

Построим геометрическое Построим геометрическое место точек заданное место точек заданное данным неравенством в данным неравенством в плоскости хОа. плоскости хОа. Построим графики Построим графики данных функций: данных функций: 1) х=а 1) х=а 2) х=-6 2) х=-6 3) х=0. 3) х=0. Учитывая, что Учитывая, что неравенство строгое, неравенство строгое, эти линии строим эти линии строим пунктиром. пунктиром. всю плоскость на 6 всю плоскость на 6 областей. областей. Данные прямые поделили Данные прямые поделили

Определяем знак ► Определяем знак каждой области каждой области методом пробной методом пробной точки. точки. Учитывая, что (х- ► Учитывая, что (х- а)²>0 всегда, а)²>0 всегда, можно рассмотреть можно рассмотреть выражение выражение (х+6)/х. (х+6)/х. Должна Должна получиться получиться следующая следующая запись: запись: ► 1) (-7;0) 1) (-7;0) (-7+6) 2)(-7;-8) 2)(-7;-8) (-7+6) 3)(-1;0) 3)(-1;0) (-7+6)// (-7) (-7)>>00 (-7+6)// (-7) (-7)>>00 (-1+6)/(-1) (-1+6)/(-1)<<00 4)(-1;-2) 4)(-1;-2) (-1+6)/(-1)<<00 (-1+6)/(-1) 5)(1;2) 5)(1;2) 6)(1;0) 6)(1;0) (1+6)/1>>00 (1+6)/1 (1+6)/1>>00 (1+6)/1

Получается ► Получается следующий чертеж. следующий чертеж. Считываем рисунок ► Считываем рисунок и записываем: и записываем: Если а≤-6, то -6<-6<хх<0<0 Если а≤-6, то Если -6<а<0, то х Если -6<а<0, то х  (-6;а)(а;0) (-6;а)(а;0) Если а>0, то х (-(- Если а>0, то х  6;0). 6;0).

Далее формируем ответ. Далее формируем ответ. Если а<-5, то в ГМТ можно расположить два отрезка ► Если а<-5, то в ГМТ можно расположить два отрезка длиной 4 и длиной 1 и они не имеют общих точек, так как длиной 4 и длиной 1 и они не имеют общих точек, так как решение выглядит, как (-6;0). решение выглядит, как (-6;0). ► Если а=-5, то в ГМТ нельзя поместить эти два отрезка, Если а=-5, то в ГМТ нельзя поместить эти два отрезка, так как решение выглядит , как (-6;-5)(-5;0). так как решение выглядит , как (-6;-5)(-5;0). ► Если -5<а<-4, то в ГМТ можно расположить два отрезка Если -5<а<-4, то в ГМТ можно расположить два отрезка предложенных длин. предложенных длин. ► Если -4≤а≤-2, то в ГМТ нельзя поместить два отрезка Если -4≤а≤-2, то в ГМТ нельзя поместить два отрезка указанных размеров, так как решение выглядит , как (- указанных размеров, так как решение выглядит , как (- 6;а)(а;0). 6;а)(а;0). ► Если -2<а<-1, то в ГМТ можно расположить два отрезка Если -2<а<-1, то в ГМТ можно расположить два отрезка предложенных длин. предложенных длин. ► Если а=-1, то решение выглядит , как (-6;-1)(-1;0) и два Если а=-1, то решение выглядит , как (-6;-1)(-1;0) и два отрезка предложенных длин там не поместятся. отрезка предложенных длин там не поместятся. ► Если а>-1, то в ГМТ можно расположить два отрезка Если а>-1, то в ГМТ можно расположить два отрезка длиной 4 и длиной 1 и они не имеют общих точек, так как длиной 4 и длиной 1 и они не имеют общих точек, так как решение выглядит, как (-6;0). решение выглядит, как (-6;0). енюМ

Ответ: Ответ:    при а (- ;-5),(-5;-4),(-2;-1),(-1;+ ) в ► при а (- ;-5),(-5;-4),(-2;-1),(-1;+ ) в множестве решений неравенства множестве решений неравенства можно расположить два отрезка можно расположить два отрезка длиной 4 и длиной 1, не имеющих длиной 4 и длиной 1, не имеющих общих точек. общих точек.     Меню

Автор презентации: ► Автор презентации: Лепихина Ольга Викторовна Лепихина Ольга Викторовна учитель математики высшей учитель математики высшей категории МОУ СОШ № 5 категории МОУ СОШ № 5 меню     выход