Презентация по теме "Перестановки"

Перестанов ки

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки. Рассмотрим пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b и c. Эти книги можно расставить на полке по-разному. Если первой поставить книгу a, то возможны такие И наконец, если первой поставить книгу c, то можно получить такие расположения: Каждое из этих расположений называют перестановкой из трёх элементов. bac, bca. cab, cba. расположения книг: abc, acb. Если первой поставить книгу b, то возможными являются такие расположения:

 Перестановкой из n элементов  n называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.  Число перестановок из n элементов обозначают символом P (читается "P из n").

В рассмотренном примере мы установили, что P₃=6. Для того чтобы найти число перестановок из трёх элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться комбинаторным правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трёх элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остаётся единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трёх элементов равно 3•2•1, т.е. 6.



Пример 1. 

Пример 2.  В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?  Решение.  Всего 6 уроков, из них два урока математики должны стоять рядом.  «Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом варианте «склеивания» получаем Р₅ = 5! = 120 вариантов расписания. Общее число способов составить расписание равно 120 (AГ) +120 (ГА) = 240.  Ответ: 240 способов.

Пример 3. цифры 3.  Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?  Решение.  а) Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырехзначные числа, начинающиеся с  Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трех оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7 9 Общее количество вариантов их расположения равно Р3= 3!=6. Столько и будет разных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.  б) Заметим, что сумма данных цифр 3 + 5 + 7 + 9 = 24 делится на 3, следовательно, любое четырехзначное число, составленное из этих цифр, делится на 3. Для того, чтобы некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.  Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трех местах перед 5 Рз = 3! = 6 различными способами. Столько и будет разных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.  Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.

Спасибо за внимание 