Презентация по теме"Решение систем линейных уравнений"

ААДД ЗАЗА АА ДД ЧАЧА ЙНИК ЙНИК

Уравнение

Методы решения: 1)Матричный метод решения. 2)Метод Крамера. 3) Метод Гаусса

1А 1)Матричный метод решения. Запишем заданную систему в матричном виде:  АХ=В,  где А – основная матрица коэффициентов системы;  Х – матрица­столбец неизвестных;  В – матрица­столбец свободных членов. Если матрица А  невырожденная   (det А=0), то тогда  с помощью операций над матрицами выразим  неизвестную матрицу Х .  Операция деления на множестве матриц заменена  умножением на обратную матрицу, поэтому умножив  последнее равенство на матрицу  слева: 1А

1)Матричный метод решения. Поэтому,  чтобы  найти  неизвестную  матрицу Х надо  найти  обратную  матрицу  к  матрице  системы  и  умножить  ее  справа  на  вектор­столбец  свободных  коэффициентов.

x 3 x 3 x 3  2,   8,  1. Пример 1. Решить систему матричным способом.   3 x x 1 2   3 x x 2 1   4 x x 2 1 Решение:  Решим систему линейных уравнений  матричным методом. Обозначим  A       3 1 4  1 1 1   1  3   1  , X       x x x 1 2 3      , B        2 8 1      . Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.      

A  3 1 4  1 1 1  1111)1(3 1 3 1  12 111)3(314)1(1)3(14  13  194   2 Т.к. матрица невырожденная (Δ= – 2), то X = A­1B.

А 11 А 12 А 13  )1(  11  )1(  21  1  1  3 1  ,231 1  4  3 1  1(1 )12  ,13  )1(  31 1  4  1 1  ,541

А 21  )1(  12 А 22  )1(  22 11  11 13  14  ,001  43 ,1 А 23  )1(  32 13  14  ,1)43(1

А 31  )1(  13 1   1 1  3  13 ,2 А 32  )1(  23 3  1 1  3  )19(1  ,10 А 33  )1(  33 3  1 1  1  13  ,4

Тогда A­1 =   1 2        2 13 5  0 1 1  2 10  4      Получим X = A­1B =     1 2       2 13 5 0 1 1  2   8    2  1 2  2 10  4             2    8     1      1    4     1         1 2   204  26 8   10 48 10      Ответ: х1 = –1,  х2 = 4,  х3 = 1.

2)Метод Крамера. с  Метод  Крамера  (теорема  Крамера)  —  способ  решения  ненулевым  квадратных  СЛАУ  определителем основной матрицы. Теорема Крамера. Если определитель  матрицы квадратной системы не равен нулю, то  система совместна и имеет единственное решение,  которое находится по формулам Крамера: где ­ определитель матрицы системы,  ­ определитель матрицы системы,

где вместо  ­го столбца стоит                  столбец правых частей. Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.       3 х 1 3 х 1 2 х 1  2 х 2  4 х  х 2 2    х 4 3 2 х 3  х  ,21  ,9 .10 3 Решение: Решим систему по формулам Крамера. D  3 3 2  2 4  1 4 2 1     1 11 2 6 6 1  )1()1(  23 0 0  1    1  11  6 6   6(1 )66  0 60

 D       0, значит, система имеет                                               единственное решение. D1  21 9 10  2 4  1 4 2 1    1 49 10 0 0  1 6 6 1     )1()1(  23 1  49 6 6   6(1  294 )  ,300 х 1  D 1  D    300 60  ;5

D2  3 3 2 21 9 10 4 2 1   11  1 2 61  11 10 0 0  1   )1()1(  33 11   1 61  11  (1 121  )61  60 х 2  D 2  D  60 60   ;1

D3  3 3 2  2 4  1 21 9 10   1 11 2 0 0  1 1 49 10   )1()1(  23  1  11 1 49  (1 49  )11  60 х 3  D 3  D    60 60  ;1 Ответ: x1 =  5, x2 =  ­1, x3 =  1.

3) Метод Гаусса  Метод Гаусса ­  Метод последовательного  исключения неизвестных. Метод Гаусса включает в себя прямой  (приведение расширенной матрицы к ступенчатому  виду, то есть получение нулей под главной  диагональю) и обратный (получение нулей над  главной диагональю расширенной матрицы) ходы.  Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный  ­ методом Гаусса­Жордана, который отличается от  первого только последовательностью исключения  переменных.

Пример 3. Исследовать систему и решить ее  методом Гаусса, если она совместна  3 x x 3 4   x 3 5 4  3  x 9 4   3 2 x x 5 2 1   x x 2 3 x 2 1 3   x x 2 4 x 2 1 4    4 x x x 1 2 3       (*) 22 Решение:  Дана неоднородная линейная система из  4­х уравнений с 4­мя неизвестными (m=n=4). 1) Определим, совместна или нет система (*).  Вычисляем для этого ранги расширенной и основной  матриц системы: Rg(A,B) и RgA.

(    BA ,    ) 3 2 1 1 ~       1 0 0 0  1  1 3 1   2 3 2  1  4 9 4 7   5 1 0 4 9 13 13 26    31  5 3  4 3 22 9        ~       1 2 1 3    1 3 2 2   4 1 0 5 9 5 4 1  22  3  3 3 22 47 25 63          ~       1 0 0 0  2  1 0 0  2 9 31 16 9 13 52 39    22 47 166 110                ~ ~ ~       1 0 0 0  2  1 0 0  2 9  1 16 9  13 26 39  22 47 54 110         ~       1 0 0 0  2  1 0 0  2 9  1 0 9  13 26 377  22 47 54 754        ( BA ) ,

A , BA , BA (привели матрицу (A,B) к матрице (         ),  имеющую ступенчатую форму). A Итак, Rg(A, B) = Rg(           ) = 4, RgA= Rg       =  4   RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*)  совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4)  система имеет   единственное решение. Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем  к следующей      эквивалентной системе.          x 1  x 2  x 3 377 x 2   x 4  x 4  9 x 4 ,54   x 4 3  13 x 9 3  26 x 4  ,754 ,22 ,47 (**)

        1)–   3(  2–     9–     6+1–     1–     32–   (5–    =10 2–   =8–  3,–   22=18 8+3–   3,=2+2)–   3,–     3, 3   3–   3,–        3–  3,–   22 22          решение найдено верно.

ееААРР РАРА ЕЕ ВВ НН НН СТВОСТВО ЛЛ ееНН

ТТР=ТР=Т 11 ДД ОДИН ОДИН ДДНАНА ЦА  ЦА    ЬЬ РР

ЕЕ 1,21,2 22 ДВДВ НАНА ДД ЕЕАА ТЬТЬ ТЬТЬ ЦЦ АА ПЛПЛ ЯЯ

РТРТ ТТ ДД ПЯТПЯТ ЬЬНН АА ЦЦ ДД АА ЬЬ РР

ССИИЛЛ ЧЧ СИЛАЧ СИЛАЧ ОО ОО 5,2,1,3, 5,2,1,3, 2кг2кг

ООКК ТОКТОК 2,3,А2,3,А ДД ТТ ооТТСС ЕЛЬЕЛЬ ВВООСТСТ ДД АА ЗАЗАТТ оо