Презентация: проектная работа: "Применение различных способов решения квадратных уравнений в курсе алгебры"

Проектная работа Применение различных  способов решения квадратных  уравнений в курсе алгебры 11«А», школа­гимназия №95 г. Караганды  Руководитель: Отрощенко Елена  Подготовила: Шефер Е.О.  Михайловна

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее  решить одну и ту же задачу  различными  способами, чем решать три­четыре различные  задачи. Решая одну задачу различными  способами, можно путем сравнения выяснить,  какой из них короче и эффективнее. Так  вырабатывается опыт».    У. У. Сойер.

Одной из важных задач школьного курса  алгебры является исследование и решение  алгебраических уравнений, многие из которых  сводятся к квадратным уравнениям. Способ  приведения к квадратному уравнению может  быть использован при решении показательных,  логарифмических, тригонометрических, а также  уравнений содержащих абсолютные величины  (модули).

Разработать проект по изучению квадратных уравнений и способов их решения для практического применения его при изучении данной темы в школьном курсе алгебры в 8-9 классах и при подготовке к ЕНТ.

 Изучить историю создания способов решения квадратных уравнений.  Выявить возможные способы решения квадратных уравнений.  Исследовать применение различных способов решения квадратных уравнений при решении различных задач и уравнений, при подготовке к ЕНТ.

По праву в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова: В числителе С, в знаменателе А, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда- В числителе b, в знаменателе a. Несмотря на то, что эта теорема называется «Теорема Виета», она была известна и до него, а он только преобразовал ее в современный вид. Виета называют «отцом алгебры»

• по формулам, через дискриминант • по теореме Виета и ей обратной • выделение квадрата двучлена

 графические способы(3) разложение левой части уравнения на множители;  с помощью циркуля и линейки

• с помощью номограммы • геометрический способ; • способ переброски: Решим уравнение 2х2 -11х + 15=0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: У2 -11у+30=0. Согласно теореме Виета у1 =5 и у2 =6. х1 =5/2 и х2 =6/2 х1 =2,5 и х2 =3

Решение квадратных уравнений широко применяется в других разделах математики: В разложении квадратного трехчлена; В исследовании квадратичной функции; В решении уравнений высших степеней; В решении текстовых задач и задач по геометрии; При решении уравнений, приводимых к квадратным; При решении показательных, тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

=0, то хх22 =­1,   =­1, хх22 = ­с/а             = ­с/а            =­1, хх22 =­1/2.                                 =­1/2.                                  ­ 7х  +2 =0             Решить уравнения:  5хх22 ­ 7х  ­12 =0             ­ 7х  ­12 =0             + 6х ­ 7= 0                Решим уравнение 2хх22  + 3х +1= 0                   + 3х +1= 0                  = ­7/1=­7.      2 ­ 3+1=0, значит  хх11= ­ 1,  = ­ 1, хх22 = ­1/2                = ­1/2               =0, то хх22 = 1,   = с/а                 Если a a – – b b + + cc=0, то   = 1, хх22 = с/а                 Если  Если aa++bb++cc=0, то  Если                                                                                                                                                                    Решим уравнение  хх22 + 6х ­ 7= 0                Решим уравнение 2 Решим уравнение                                                                                                                                                               1 + 6 – 7 =0, значит хх11=1, =1, хх22 = ­7/1=­7.      2 ­ 3+1=0, значит   1 + 6 – 7 =0, значит                                                                                                                    Ответ: хх11=1, =1, хх22 =­7.                                       Ответ:   Ответ:                                                                                Решить уравнения: 5хх22  ­ 7х  +2 =0             Решить уравнения:  5 Решить уравнения: 5                                                                                                                                                                          1111хх22  +25х  ­ 36=0                                             11                                                                                                                                                                                345345хх22  ­137х ­208=0                                                   3                                                                                                                                                    =­7.                                       Ответ:  хх11=­1,    +25х  ­ 36=0                                             11хх22  +25х +14=0             +25х +14=0             ­137х ­208=0                                                   3хх22 +5х +2=0            +5х +2=0

Биквадратные уравнения. (по теореме, обратной теореме  Виета) 4 x  2  y 1 y ,1 x ,1 1 2 x ,1 ,0 ,0 Вернемся к замене ,2 2  3 2 x x 2 y  2 y 3 2 y 2 x 3 4 x 2

4 2 3 2 ) 4 4 2 x x 0 (2 2 2 (10  0  x 0  0 x x 16 16  16 x 2 x 2 (2 x    10 16 x 10 x    3 2 10 10 x x    3 x x (10 )1 ) 1 1    ) 2 x x Используя  подстановку,тогда  2) 1 2 x 22 t 1  ( x x 22   2 2 2 x t t 2 x  1 2 x   )2 10 t   12 10 t   5 6 ,0 t 1 t 2 t 3 ,2 (2 t 2 2 t 2 t  16 0 x  x /*2 1 x  21 x  ,01 x 2  2 x  x * 1 2  1  2 2 2 x x x 1 x 1 x 1 0 x  x /*3 1 x  31 x   01 x 3  5 49 5 2  5,1 , 2 2 x x D x 2 x 3  5,1 5 2

Замен а x 3 y  x 2   38  x 338 2  72 y 9 y 9 y 3 D 1 y 2,1 x 3 x 98  y 23 2 2 y 2   4 23   y 72 12   y 27 84   y 28 9 0 2   28   2    14 3  9  2 93 2 3 13  2 x  1   32   x 332  2  9 y 23 23 23   12 y  4 y 0 32 y 0 2 196  27  169  13 2 2 y 9 1  3 x 3  1 y 1 3 1 3  1  648 x Проверка : x 2   1 x Ответ  24  23 1 : x  1 23  2 32 25  Не  корень

Заменим sinx на y;  x 5,1  3 sin 2 x sin5,1   2 y 5,0 y  2 2 y 1 y ;189 D  05,0 0   0 1 y sin x , 2 y ,1 sin x 1  2 x 2 Вернемся к замене  2 K э Z 1 2 1 2    1 2   6     1 1x arcsin    1 1x

2 x  x 3  40  0 x 1  x ,5 2  8 p    1 5  1 8    3 40 ,  q   1 5 1 8    1 40 2 x  3 40 x  1 40  0 40 2 x  3 x  1 0

В результате выполнения проекта можно сделать следующие выводы: •Изучение научно-методической литературы по данной теме показали, что использование различных способов решения квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, повышает интерес, развивает внимательность и сообразительность; •Система использования различных способов решений уравнений на разных этапах урока является эффективным средством активизации мыслительной деятельности учащихся, развивает логику мышления; •Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применять алгоритм решения.

Список литературы: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для Глейзер Г. И. История математики в школе. М. Просвещение. 1982. Рыбников К.А. «Возникновение и развитие математической Самин Д.К. «Сто великих ученых» Москва, Вече, 2000. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры», Москва, 1. средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83. 2. 3. науки»Москва, Просвещение, 1987 4. 5. Просвещение, 1989 6. 7. 8. математики», Москва, Просвещение , 1996. 9. математика.М., Наука 1976 10. 1973 11. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972. 12. алгебры и начал анализа. «Просвещение»1990г. 13. 14. 15. 1976. 16. К.С. Муравин и др. «Алгебра-8» Учебник, Москва, Дрофа, 1997 Шыныбеков А.Н. «Алгебра - 8», Учебник, Алматы, Атамұра, 2003. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П. «За страницами учебника Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. К.. Элементарная Сканави М. И. Сборник задач по математике. М. Высшая школа. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по алгебре», Москва, 1989. Кушнир И.А. «Уравнения», Киев 1996 Бертенёв Ф. А. Нестандартные задачи по алгебре. М, Просвещение. Вавилов В. В., Мельников И. И., Задачи по математике. Уравнения и