ЕГЭ Производная в заданиях уровня
ЕГЭ Производная в заданиях уровня В.
f/(x)
f(x) 2
1
Цели урока повторить и обобщить теоретические знания по темам: «Геометрический смысл производной», «Применение производной к исследованию функций» рассмотреть все типы задач
Цели урока
повторить и обобщить теоретические знания по темам: «Геометрический смысл производной», «Применение производной к исследованию функций»
рассмотреть все типы задач В8, встречающиеся на ЕГЭ по математике
проверить свои знания при самостоятельном решении задач
научиться вносить свой ответ в экзаменационный бланк ответов
Тема 2 Геометрический смысл производной
Тема 2
Геометрический смысл
производной
А С В tg A-? tg В -? 4 7 А В С
А
С
В
tg A-?
tg В -?
4
7
А
В
С
Найдите градусную меру В
3
Найдите градусную меру А
Устная работа
Вычислите tgα, если
α = 135°, 120°, 150°
Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной)
Х
У
0
касательная
α
k – угловой коэффициент прямой (касательной)
Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x)
в точке с абсциссой равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке ( ; f( ) ), т.е.
Поскольку , то верно равенство
Если α < 90°, то k > 0. Если α > 90°, то k < 0
Если α < 90°, то k > 0.
Если α > 90°, то k < 0.
Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ.
0
Уравнение касательной
Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х₀ с положительной полуосью
Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х₀
с положительной полуосью Ох?
Чему равен тангенс угла наклона
касательной к графику функции y = x² + 2
в точке х₀ = -1?
Задание №1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1
1
0
1
4
2
Задание №1.
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ = -1.
подсказка
4
8
Задание №2. В 8 0 , 7 5 Ответ: 6 8
Задание №2.
В 8 | 0 | , | 7 | 5 | |||
Ответ:
6
8
Задание №3. В 8 - 3 Ответ:
Задание №3.
В 8 | - | 3 | |||||
Ответ:
Задание №4. На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-5;6)
Задание №4.
На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-5;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней.
подсказка
2
Ответ: 4
0
Задание №5 К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135° к положительному направлению оси
Задание №5
К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135°
к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён
график производной функции. Укажите количество точек
касания.
-1
Ответ: 5
tg 135° = -1, значит производная в точках касания равна -1
подсказка
Задание №6 0 1 1 3 К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой х₀ = 3
Задание №6
0
1
1
3
К графику функции y = f(x)
проведена касательная в
точке с абсциссой х₀ = 3.
Определите градусную меру
угла наклона касательной,
если на рисунке изображён
график производной этой
функции.
Ответ:
В8 | 4 | 5 | |||||
Задание №7 По графику производной функции определите величину угла в градусах между положительным направлением оси
Задание №7
По графику производной функции определите величину угла в градусах между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке х₀ = -3.
-3
1
Ответ:
В8 | 4 | 5 | |||||
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №8 Задание №9 Ответ:
Задание №8
Задание №9
Ответ:
Ответ:
В8 | 0 | , | 5 | ||||
В8 | - | 1 | |||||
подсказка
подсказка
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Производная функции в точке х = 4 – это производная в точке касания хо, а она равна угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона касательной…
Производная функции в точке
х = 4 – это производная в точке касания хо, а она равна угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ох
Задание №10
Прямая проходит через начало координат и касается
графика функции y = f(x). Найдите производную в точке х = 4.
Ответ:
В8 | 0 | , | 7 | 5 | |||
подсказка
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №11 Ответ: В8 6
Задание №11
Ответ:
В8 | 6 | ||||||
Решите самостоятельно следующие задания
Решите самостоятельно следующие задания
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
№1
№1
№2
№2
№3
№3
Учитель высшей категории Сильченкова
№4
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
№5
№5
№6
№6
№7
№7
№8
№8
Учитель высшей категории Сильченкова
№1
№2
№3
№4
№8
№7
№6
№5
1 | |||||||
- | 0 | , | 2 | 5 | |||
4 | |||||||
0 | , | 2 | 5 | ||||
1 | |||||||
- | 3 | ||||||
1 | |||||||
0 | , | 2 | 5 | ||||
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Проверьте себя
Тема 3 Применение производной к исследованию функций
Тема 3
Применение производной
к исследованию функций
Если производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку
0
0
min
max
min
min
max
min
min
min
max
max
Если производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то
Хо-точка максимума
Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то
Хо-точка минимума
Е с л и свойства f(x): ,то 3 4 5 6 7 1 функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную проходя через точку…
| ||
Е с л и
свойства
f(x):
,то
3
4
5
6
7
1
функция возрастает на
промежутке и имеет на нем производную
проходя через точку х₀,
f ´(x) меняет
знак с « - » на « + »
1
функция убывает на
промежутке и имеет
на нем производную
2
проходя через точку х₀,
f ´(x) меняет
знак с « +» на « - »
функция возрастает
на промежутке
функция убывает
на промежутке
неверно, что f ´(x) ˃ 0
неверно, что f ´(x) ˂ 0
f ´(x) ≥ 0
в точке Х₀ функция имеет экстремум
Х₀ - точка минимума функции
f ´(x) ≤ 0
Х₀ - точка
максимума функции
f ´(x₀) = 0 или f ´(x₀)
не существует
2
3
4
5
6
7
свойства
f '(x):
Закончите предложение
Укажите точку минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной
![Укажите точку минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной](https://fs.znanio.ru/d5af0e/3f/24/615fbd6f98d6d32f8ed00ba8f87f25cf7e.jpg)
Укажите точку минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной.
-6
4
-2
Ответ: -2
0
Задание №1.
Укажите промежутки монотонности функции, используя график её производной
1
Укажите промежутки монотонности функции, используя график её производной.
-5
4
Ответ: (-5;-3],[ 0;3] - промежутки возрастания,
[-3;0], [3;4) – промежутки убывания
Задание №2.
Используя график функции, укажите промежутки, на которых её производная положительна, отрицательна
1
Используя график функции, укажите промежутки, на которых её производная положительна, отрицательна.
-5
4
Производная положительна на промежутках: (-5;-4), (-2;2) Производная отрицательна на промежутках: (-4;-2), (2;4)
-2
Задание №3.
Решите самостоятельно следующие задания
Решите самостоятельно следующие задания
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №1
Задание №1
Задание №2 Прямая у= 2х является касательной к графику функции
Задание №2
Прямая у= 2х является касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
Задание №3
Задание №3
Задание №4 Учитель высшей категории
Задание №4
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №5 Учитель высшей категории
Задание №5
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №6 Учитель высшей категории
Задание №6
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №7 Учитель высшей категории
Задание №7
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №8 Учитель высшей категории
Задание №8
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №9 Учитель высшей категории
Задание №9
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №10 Учитель высшей категории
Задание №10
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №11 Учитель высшей категории
Задание №11
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Задание №12 Учитель высшей категории
Задание №12
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Проверьте себя 1 2 3 4 5 111 10 9 8 7 - 1 0 , 5 7 7 2 5 3 1 1 8…
Проверьте себя
1
2
3
4
5
111
10
9
8
7
- | 1 | ||||||
0 | , | 5 | |||||
7 | |||||||
7 | |||||||
2 | 5 | ||||||
3 | |||||||
1 | |||||||
1 | |||||||
8 | |||||||
1 | |||||||
6
- | 2 | ||||||
12
- | 2 | ||||||
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Для вычисления углового коэффициента касательной достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов
Для вычисления углового коэффициента касательной достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов.
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Так как касательная параллельна прямой y=8x+11, то их угловые коэффициенты совпадают, т
Так как касательная параллельна прямой y=8x+11, то их угловые коэффициенты совпадают, т.е. угловой коэффициент касательной равен восьми k = 8.
xo – абсцисса искомой точки касания
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
В результате решения будут найдены абсциссы двух точек касания, которые принадлежат графику данной функции
В результате решения будут найдены абсциссы двух точек касания, которые принадлежат графику данной функции.
Но только одна из этих точек принадлежит касательной у = -4х-11, чтобы определить какая, нужно найденные абсциссы подставить в оба из данных уравнений. Должны получиться верные равенства.
у
х
0
У = -4х-11
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Поставьте себе оценку за самостоятельные работы
Поставьте себе оценку за самостоятельные работы
Верно выполненное задание – 1 балл. Каждая консультация учителя во время самостоятельной работы снимает 0,5 балла
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Балл | Оценка |
Памятка Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке или значение производной функции в точке, надо найти тангенс угла наклона касательной к…
Памятка
Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке или значение производной функции в точке, надо найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение противолежащего катета к прилежащему.
Если на рисунке нет касательной, но известны точки, через которые она проходит, сначала надо провести касательную, а потом рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором найти отношение катетов.
Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох острый, то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке положительны.
Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох тупой, то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке отрицательны.
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н. г.Белый Тверской обл.
Вспомнить связь функции и её производной поможет рисунок
Вспомнить связь функции и её производной поможет рисунок
Точки экстремума( максимума и минимума) следует искать среди критических точек (производная равна нулю или не существует).
Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то Хо – точка максимума.
Если производная меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то Хо – точка минимума.
Если функция на отрезке возрастает, то своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее - на правом.
Если функция на отрезке убывает, то своё наименьшее значение она принимает на правом конце отрезка, а наибольшее - на левом .
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
3
min
max
Ну кто придумал эту математику !
Ну кто придумал эту математику !
У меня всё получилось!!!
Надо решить ещё пару примеров.
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Рефлексия
Спасибо за работу! Автор: учитель высшей категории
Спасибо за работу!
Автор: учитель высшей категории МОУ «Бельская СОШ» Тверской области Сильченкова Светлана Николаевна
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н.. г.Белый Тверской обл.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
