Презентация "Теорема Пифагора"

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Автор урока:  Гапонова Марина Александровна,  учитель математики МОУ «Средняя школа №9»   г.Петрозаводск. Республика Карелия ­2015­

«Геометрия обладает двумя   «Геометрия обладает двумя   великими сокровищами. великими сокровищами.     Первое – это теорема Пифагора…» Первое – это теорема Пифагора…»

НЕОБХОДИМО ВЫЯСНИТЬ:  кто такой Пифагор;  в чём заключается теорема Пифагора;  доказать теорему;  показать практическое применение;  показать задачи, используемые в экзамене по данной  теме.

ЦЕЛИ:  овладение необходимыми знаниями и  умениями по теме урока;  воспитание серьёзного отношения к  геометрии, понимание значимости  предмета ;  развитие умения использовать  разнообразные источники информации;  воспитание познавательного интереса в  изучении геометрии;  развитие логического мышления.

ЗАДАЧИ:  познакомиться с теоремой Пифагора, её  доказательством, историей её создания,  биографией Пифагора;   показать применение теоремы в ходе  решения задач;  расширить круг задач, используемых на  уроках геометрии;  отработать умение делать выводы;  формировать учебно­познавательные  действия;  развивать умение работать в  коллективе, парами и самостоятельно.

ПОРЯДОК РАБОТЫ:  цели, задачи;  разделение на команды для соревнования;  история Пифагора и его теоремы;  формулировка теоремы;  разные способы её доказательства;  применение теоремы в задачах;  рефлексия;  домашнее задание.

КОМАНДЫ: 1 ряд 1 ряд «Историки» «Историки» 2 ряд 2 ряд «Теоретики» «Теоретики» 3 ряд 3 ряд «Практики» «Практики»

ИСТОРИЯ О ПИФАГОРЕ:  Пифагор родился в 580 г. до н.э. в  Древней Греции на острове Самос,  который находится в Эгейском море,  поэтому его называют Пифагором  Самосским.  Его отец был резчиком по камню. Ещё в  детстве Пифагор проявлял  незаурядные способности, и когда  подрос, воображению юноши стало  тесно на маленьком острове.

 Пифагор перебрался в г. Милеет и стал  учеником Фалеса, которому в то время шёл  восьмой десяток. Мудрый учёный  посоветовал юноше отправиться в Египет.  Когда Пифагор постиг науку египетских  жрецов, то отправился домой, чтобы там  создать свою школу.   Пифагорейцы, как их позднее стали  называть, занимались математикой,  философией, естественными науками.

ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ:         Изучение вавилонских клинописных  таблиц и древних китайских рукописей  показало, что это утверждение было  известно задолго до Пифагора. Заслуга  же Пифагора состояла в том, что он  открыл доказательство этой теоремы.  знаменитую теорему Пифагор добыл как  выигрыш с неизвестным математиком.  Тот отдал свиток с теоремой Пифагору и  сказал, что человек, который владеет  этим свитком, будет известным не одно  тысячелетие…        Согласно одной из легенд,

 Теорему называли «мостом ослов», так  как слабые ученики, заучивающие  теоремы наизусть, без понимания, и  прозванные поэтому «ослами», были не  в состоянии преодолеть теорему  Пифагора, служившую для них вроде  непреодолимого моста.

ПОВТОРЕНИЕ: 1)Определите вид  треугольника. 2)Назовите катеты и  гипотенузу данного  треугольника. 3)Как найти площадь     Δ АВС? 4)Как найти площадь  квадрата? А С В

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА:  Постройте прямоугольный  треугольник, катеты которого  выражаются целыми числами;  Измерьте катеты и гипотенузу,  результаты запишите в тетрадь;  Возведите все величины в квадрат и  запишите:a2; b2; c2;  Сложите квадраты катетов  а2+b2 Получилось  ли, что a2+ b2= c2?

ТЕОРЕМА  ПИФАГОРА В прямоугольном  треугольнике  квадрат гипотенузы  равен сумме  квадратов катетов.                        с2 = а2 + b2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1)Достроим прямоугольник до квадрата со стороной     a + b. 2)Площадь квадрата равна ( а + b)² 3)С другой стороны квадрат составлен из четырёх  равных прямоугольных треугольников с  площадью ½ аb и квадрата, площади с² 4) S=4 *1/2ab + с2 = 2bc + с2.     (а+b)2 =2ab+ с2.            с2 = а2 + b2.

 Пифагоровы штаны во все стороны равны

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ К  ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:  позволяет проверить, является ли тот или иной  треугольник прямоугольным. Этим пользовались  землемеры и строители Древнего Египта: они  размечали прямые углы с помощью веревки,  разделенной узлами на 12 равных кусков;  прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5  называется «египетским», а тройки (a, b, c)  натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению  c2 = a2 + b2, т. е. служащие длинами сторон  прямоугольных треугольников, Пифагоровыми.

НЕКОТОРЫЕ ПИФАГОРОВЫ  ТРОЙКИ:  (3,4,5), (6,8,10), (5,12,13),    (9,12,15), (8,15,17), (12,16,20), (15,20,25),  (7,24,25), (10,24,26), (20,21,29), (18,24,30), (10,30,34), (21,28,35), (12,35,37),  (15,36,39), (24,32,40), (9,40,41), (27,35,45),  (14,48,50), (30,40,50)…

ЕЩЁ ОДНА ФОРМУЛИРОВКА  ТЕОРЕМЫ:  Площадь квадрата,  построенного на  гипотенузе  прямоугольного  треугольника, равна  сумме площадей  квадратов, построенных  на его катетах.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого     угла С. 2) По определению косинуса угла  соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует  AB*AD=AC2. 3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит  AB*BD=BC2. 4) Сложив полученные равенства почленно,  А Д получим:  AC2+BC2=АВ*(AD + DB)  AB2=AC2+BC2.         С В

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1) Построим отрезок CDCD равный отрезку  1) Построим отрезок  катета ACAC прямоугольного треугольника  катета  перпендикуляр EDED к отрезку  перпендикуляр  точки BB и  точки   и EE. .   равный отрезку ABAB на продолжении   на продолжении   прямоугольного треугольника ABCABC. Затем опустим  . Затем опустим   к отрезку ADAD, равный отрезку  , равный отрезку ACAC, соединим  , соединим  2) Площадь фигуры ABEDABED можно найти, если рассматривать её   можно найти, если рассматривать её  2) Площадь фигуры  как сумму площадей трёх треугольников:  как сумму площадей трёх треугольников:  SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Фигура ABEDABED является трапецией, значит, её площадь равна:   является трапецией, значит, её площадь равна:  3) Фигура  SABED=  (DE+AB)*AD/2. (DE+AB)*AD/2. SABED= 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то  4) Если приравнять левые части найденных выражений, то  получим:  получим:  AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2 AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2. BC2=AB2+AC2.        Это доказательство было опубликовано  Это доказательство было опубликовано  в 1882 году Гэрфилдом.  в 1882 году Гэрфилдом.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ  ПИФАГОРА    В настоящее время на рынке  мобильной связи идет большая  конкуренция среди операторов. Чем  надежнее связь, чем больше зона  покрытия, тем больше потребителей у  оператора. При строительстве вышки  (антенны) часто приходится решать  задачу: какую наибольшую высоту  должна иметь антенна, чтобы передачу  можно было принимать в определенном  радиусе.

МОБИЛЬНАЯ СВЯЗЬ  Какую наибольшую высоту должна иметь антенна  мобильного оператора, чтобы передачу можно было  принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли  равен 6380 км.)  Решение:  Пусть AB= x, BC=R=200 км,  OC= r =6380 км. OB=OA+AB OB=r + x.   Используя теорему Пифагора, получим ответ: 2,3  км.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ  ПИФАГОРА  Теорему Пифагора широко применяют и в  строительстве, при вычислении размеров  крыши, построении окон, используется в  большинстве архитектурных сооружений. В  астрономии  используют для вычисления  расстояний.

ИНТЕРЕСНОЕ О ПИФАГОРЕ:  Пифагор – это на самом деле прозвище, а не имя    (Пифагор ­ "убеждающий речью").   Увлекался спортом, побеждал в кулачном бою на  Олимпийских играх.  Придумал специальную кружку, которая заставляла  пить только в ограниченных количествах. Сегодня  она продается на Родосе, Самосе и Крите как  сувенир.  Пифагор считал, что нельзя употреблять пищу  животного происхождения. Он верил, что в  животных переселяются души людей.

ВАЖНЫЕ ОТКРЫТИЯ,  СВЯЗАННЫЕ С ИМЕНЕМ  ПИФАГОРА:  в географии и астрономии –  представление о том, что Земля – шар и  что существуют другие, похожие на неё  миры;  в музыке – зависимость между длиной  струны арфы и звуком, который она  издаёт;  в геометрии – построение правильных  многоугольников (один из них  пятиконечная звезда – стал символом  пифагорейцев).

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим –  И таким простым путём К результату мы придём.

Не знаю, чем кончу поэму, И как мне печаль избыть: Древнейшую теорему Никак я не в силах забыть. Стоит треугольник как ментор, И угол прямой в нём есть, И всем его элементам Повсюду слава и честь! Вебер

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ  Выбрать задачу и решить её Задачи для проверки Задачи из открытого банка заданий к экзамену

РЕФЛЕКСИЯ:  На ваших карточках дорисуйте снеговика: Я пришёл на урок с таким настроением Я присутствовал на уроке с таким настроением Я ухожу с урока с таким настроением

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА ВЫБОР:  найти другой способ доказательства теоремы  Пифагора;  найти пифагоровы тройки;  придумать свою задачу на применение  теоремы Пифагора;  найти задачи из базы задач по геометрии с  сайта fipi.

«Не гоняйся за счастьем:  оно всегда находится в  тебе самом». Пифагор.

ЛИТЕРАТУРА:  Л.С. Атанасян учебник «Геометрия 7­9» Москва    «Просвещение» 2009 г. Е.М. Рабинович «Задачи и упражнения на готовых  чертежах». Волошинов А.В. «Математика и искусство». ­ М.:  «Просвещение» 2000.  Волошинов А.В. «Пифагор». ­ М.: «Просвещение» 2001.    Литцман В. «Теорема Пифагора». ­ М.:  «Государственное издательство физико­ математической литературы» 2000.  Глейзер И. «История математики в школе».    Чистяков В.Д. «Старинные задачи по элементарной  математике»

РЕСУРСЫ ИНТЕРНЕТ http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor/pifagor.html http://fevt.ru/load/prezentacii_powerpoint/teorema_pifagora_prezent acija/110­1­0­967 http://volna.org/geometrija/tieoriema_pifaghora.html http://prezentacii.com/matematike/9566­teorema­pifagora­i­ee­ primenenie.html http://video.promail.kz/video/226022 http://moypifagor.narod.ru/media.htm