Приемы быстрого счета

Выполнил ученик 6 класса Б
МБОУ «ЦО гимназии №1»
Титов Дмитрий

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам  необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса,  необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать. 

У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами.

Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять.

Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки.

Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно.

Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.
У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке

Было очень неудобно хранить глиняные таблички, веревки с узелками и рулоны папируса.
И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели
для каждой цифры свой знак.
Вот как они выглядели

От пальцевого счета пошли пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног).
В древние времена не существовало единой для всех стран системы счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие – 60, третьи – 20, 2, 5, 8.

Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.

Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы.
Этот способ обозначения цифр называется цифирью.

Русский крестьянский способ умножения
Пример:
умножим 47 на 35,
запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
деление заканчивается, когда слева появится единица;
вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Метод решетки:
Найдем произведение чисел 25 и 63.
Горизонтально запишем числа 25, вертикально 63.
Чертим решетку, проводим диагонали.
На пересечениях находим произведения чисел.
Складываем числа по диагоналям.
Получили результат: 1575

Найдем произведение чисел 32 и 21
Чертим 3 полоски, через промежуток 2.
Под углом чертим 2 и 1 полоски.
Считаем количество точек пересечения:
Крайние правые - единицы - 2
По диагонали – десятки - 7
Крайние левые – сотни - 6

Получили результат 672.

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.  
Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.
Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).
Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

Сложение с использованием свойств действий с числами
Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:
12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.
Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.
Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001.

Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.
Пример:
529 – 435 = (529 - 5) - (435+5) = 524 – 440 = 84
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.
Пример:
785 + 963 = 785 + (963+7) – 7 = 785 + 970 – 7= = 1748

Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:
934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177
Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:
(567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Поразрядное вычитание:
Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.
Пример1:
574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.
Если меньше, то занимаем у высшего разряда:
Пример 2:
647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Чтобы найти произведение чисел
от 10 до 20 необходимо:
к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.
Пример 1. 16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,
Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = 323.

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
Примеры:
72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
Пример:
94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Чтобы двузначное число умножить на
22, 33, ..., 99, надо:
этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть
44 = 4 · 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Пример 1:
24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528
Пример 2.
23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:
a ∙ 5 = a ∙ 10 : 2 a ∙ 50 = a ∙ 100 : 2
a ∙ 25 = a ∙ 100 : 4 а ∙ 125 = а ∙1000:8
1. 17 ∙ 5 = 17 ∙ 10:2 = 170:2 = 85
2. 43 ∙ 50 = 43 ∙ 100:2 = 4300:2 = 2150
3. 27 ∙ 25 = 27 ∙ 100:4 = 2700:4 = 675
4. 96 ∙ 125 = 96:8 ∙ 1000 = 12 ∙ 1000 = 12000

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:
138 · 5 = (138 · 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.
Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 разделить на 2:
87 · 50 = (87 · 100) : 2 = 4350.
Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить его на 2:
360 · 0,5 = 360:2=180.
Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4:
280 · 0,25 = 280 : 4 = 70

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.
Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:
24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.
Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:
64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80.
Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.
16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.

Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:
16·1,5 = 16+8= 10+14=24
Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:
16·2,5 = 16·2 + 8 = 32+8= 40
Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:
16·3,5 = 16·3+8=48+8 = 40+16=56

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.
Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
Примеры:
44 ∙ 5 = (44 : 2) ∙ 5 ∙ 2 = 22 ∙ 10 = 220;
28 ∙ 15 = (28 : 2) ∙ 15 ∙ 2 = 14 ∙ 30 = 420;
32 ∙ 25 = (32 : 2) ∙ 25 ∙ 2 = 16 ∙ 50 = 800.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:
Примеры:
48 ∙ 65 = (48 : 2) ∙ 65 ∙ 2 = 24 ∙ 130 = (24 ∙ 10 + 24 ∙ 3) ∙ 10 = (240 + 72) ∙ 10 = 312 ∙ 10 = 3120;
36 ∙ 85 = (36 : 2) ∙ 85 ∙ 2 = 18 ∙ 170 = (18 ∙ 10 + 18 ∙ 7) ∙ 10 = (180 + 126) ∙ 10 = 306 ∙ 10 = 3060.

Последовательное деление
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:
720:45=(720:9):5=80:5=16,
9324:36=(9324:9):4=1036:4=259
945:35 = (945:5):7 = 179:7 = 27