Применение подобия к решению задач на ОГЭ

Определение

Свойства

∆ABC~∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1

∠A=∠ A 1 A A 1 1 A 1 ,
∠B=∠ B 1 B B 1 1 B 1 ,
∠C=∠ C 1 C C 1 1 C 1
AB A 1 B 1 AB AB A 1 B 1 A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 AB A 1 B 1 = BC A 1 C BC BC A 1 C A 1 A A 1 1 A 1 C BC A 1 C = AC A 1 C 1 AC AC A 1 C 1 A 1 A A 1 1 A 1 C 1 C C 1 1 C 1 AC A 1 C 1

Здесь A→ A 1 A A 1 1 A 1 ,
B→ B 1 B B 1 1 B 1 ,

С → C 1 C C 1 1 C 1

A

A 1 A A 1 1 A 1

B

B 1 B B 1 1 B 1

C 1 C C 1 1 C 1

C

∆ABC~∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1

K – коэффициент подобия

A

B

C

A 1 A A 1 1 A 1

B 1 B B 1 1 B 1

C 1 C C 1 1 C 1

H

H 1 H H 1 1 H 1

P ∆ABC P ∆ A 1 B 1 C 1 P ∆ABC P P ∆ABC ∆ABC P ∆ABC P ∆ABC P ∆ A 1 B 1 C 1 P ∆ A 1 B 1 C 1 P P ∆ A 1 B 1 C 1 ∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1 P ∆ A 1 B 1 C 1 P ∆ABC P ∆ A 1 B 1 C 1 =k

S ∆ABC S ∆ A 1 B 1 C 1 S ∆ABC S S ∆ABC ∆ABC S ∆ABC S ∆ABC S ∆ A 1 B 1 C 1 S ∆ A 1 B 1 C 1 S S ∆ A 1 B 1 C 1 ∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1 S ∆ A 1 B 1 C 1 S ∆ABC S ∆ A 1 B 1 C 1 = k 2 k k 2 2 k 2

Подобные треугольники

BH B 1 H 1 BH BH B 1 H 1 B 1 B B 1 1 B 1 H 1 H H 1 1 H 1 BH B 1 H 1 =k

6

Задачи по готовым чертежам

Дано:
∆ABC~∆ A 1 A A 1 1 A 1 B 1 B B 1 1 B 1 C 1 C C 1 1 C 1

A 1 A A 1 1 A 1

k= 3 1 3 3 1 1 3 1 =3

∠A = 30 0 30 30 0 0 30 0

?

A

B 1 B B 1 1 B 1

?

30 o 30 30 o o 30 o

№1

k= 4 2 4 4 2 2 4 2 =2

P ∆ A 1 O C 1 P P ∆ A 1 O C 1 ∆ A 1 A A 1 1 A 1 O C 1 C C 1 1 C 1 P ∆ A 1 O C 1 = 37:2= 18,5

C

№2

Дано:
∆ABC~∆MBN

S ∆MBN S S ∆MBN ∆MBN S ∆MBN =10

S ∆ABC S S ∆ABC ∆ABC S ∆ABC =?

k 2 k k 2 2 k 2 = ( 8 5 ) 2 ( 8 5 8 8 5 5 8 5 ) ( 8 5 ) 2 2 ( 8 5 ) 2 = 64 25 64 64 25 25 64 25

S ∆ABC S S ∆ABC ∆ABC S ∆ABC =10* 64 25 64 64 25 25 64 25 = 128 5 128 128 5 5 128 5 =25,6

№3

Признаки подобных треугольников

I признак

C

B

A

∠𝐴𝐴=∠𝐷𝐷

∠C=∠F

(по двум углам)

III признак

∠𝐴𝐴=∠𝐷𝐷

AB 𝐷𝐸 AB AB 𝐷𝐸 𝐷𝐷𝐸𝐸 AB 𝐷𝐸 = A𝐶 𝐷𝐹 A𝐶𝐶 A𝐶 𝐷𝐹 𝐷𝐷𝐹𝐹 A𝐶 𝐷𝐹

(по двум сторонам
и углу между ними)

II признак

𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐷𝐷𝐹𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹 = 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝐸𝐹𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹

∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶~∆𝐷𝐷𝐸𝐸𝐹𝐹

(по трем сторонам)

F

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

F

E

D

6

(задание 24)
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение:
Углы СВД и ВДА равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД.
Стороны ВС и ВД в Δ ВСД пропорциональны сторонам ВД и АД в Δ АВД соответственно, т.к.ВС : ВД = 5 : 10 = 0,5 и ВД : АД = 10 : 20 = 0,5.
Значит, эти треугольники подобны (по второму признаку).

Доказательство:

Итак, прямоугольные треугольники АСН и СВН подобны, т.к. ∠ А = ∠ ВСН,

прямоугольные треугольники АСН и АВС подобны, т.к. ∠ А - общий,

прямоугольные треугольники СВН и АВС подобны, т.к. ∠ В – общий.

Пусть ∠ А = , тогда ∠ В= 90 - ɑ ,

ɑ

СН =

Свойство 1.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между отрезками,
на которые делится гипотенуза этой высотой.

Свойство 2.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой,
проведённой из вершины прямого угла.

АС =

ВС =

Ответ: 6

поэтому, AB= AC∙AH AC∙AH AC∙AH AC∙AH = 20∙5 20∙5 20∙5 20∙5 =10.

Ответ: 10.

(задание 23).

Точка 𝐻𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵𝐵 треугольника 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐴𝐶𝐶. Найдите 𝐴𝐴𝐵𝐵, если 𝐴𝐴𝐻𝐻=5, 𝐴𝐴𝐶𝐶=20.

Решение.
В прямоугольном треугольнике катет – есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. В нашем треугольнике проекция катета AB на гипотенузу – это AH,

А теперь используем свойство высоты: «В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу», т.е.
BH= AH∙CH AH∙CH AH∙CH AH∙CH = AH∙ AC−AH AH∙ AC−AH AH∙ AC−AH AC−AH AC−AH AH∙ AC−AH = 10,8∙ 30−10,8 10,8∙ 30−10,8 10,8∙ 30−10,8 30−10,8 30−10,8 10,8∙ 30−10,8 = 54 5 ∙ 96 5 54 5 ∙ 96 5 54 5 54 54 5 5 54 5 ∙ 96 5 96 96 5 5 96 5 54 5 ∙ 96 5 =14,4.
 

( задание 23)

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение.
I способ. Пусть AB=18, AC=30.
Используем свойство: «В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу», т.е. AB= AC∙AH AC∙AH AC∙AH AC∙AH ⟹AH= AB 2 AC AB 2 AB AB 2 2 AB 2 AB 2 AC AC AB 2 AC = 18 2 30 18 2 18 18 2 2 18 2 18 2 30 30 18 2 30 =10,8.

II способ.
Воспользуемся формулами нахождения
площади прямоугольного треугольника.
S ABC = 1 2 BC∙AB S ABC = 1 2 AC∙BH S ABC = 1 2 BC∙AB S ABC = 1 2 AC∙BH S ABC S S ABC ABC S ABC = 1 2 1 1 2 2 1 2 BC∙AB S ABC = 1 2 BC∙AB S ABC = 1 2 AC∙BH S ABC S S ABC ABC S ABC = 1 2 1 1 2 2 1 2 AC∙BH S ABC = 1 2 BC∙AB S ABC = 1 2 AC∙BH S ABC = 1 2 BC∙AB S ABC = 1 2 AC∙BH ⟹BC∙AB=AC∙BH⟹BH= BC∙AB AC BC∙AB BC∙AB AC AC BC∙AB AC .

Сторону BC найдём по теореме Пифагора:
BC= AC 2 − AB 2 AC 2 − AB 2 AC 2 AC AC 2 2 AC 2 − AB 2 AB AB 2 2 AB 2 AC 2 − AB 2 = 30 2 − 18 2 30 2 − 18 2 30 2 30 30 2 2 30 2 − 18 2 18 18 2 2 18 2 30 2 − 18 2 = 900−324 900−324 900−324 900−324 = 576 576 576 576 =24.

Тогда:
BH= 24∙18 30 24∙18 24∙18 30 30 24∙18 30 =14,4.

Ответ: 14,4.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

РЕШЕНИЕ:
(1 способ).
1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные: <АА₁В=<СС₁В=90⁰, <АВА₁=<СВС₁ (вертикальные). ∆АВА₁ ∞ ∆СВС₁ (по двум углам).

(Задание 24).
В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что ∆А₁ВС₁∞∆ АВС.

2. Из подобия треугольников составляем пропорцию
По свойству пропорции получаем

3. В ∆АВС и ∆А₁ВС₁ стороны пропорциональны и углы между ними равны(вертикальные <АВС=< А₁ВС₁).
∆АВС ∞ ∆А₁ВС₁

(задание 24).
В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что ∆А₁ВС₁∞∆ АВС.

РЕШЕНИЕ:
(2 способ)
1.<АА₁С=<СС₁А=90⁰; АС диаметр окружности, описанной около ∆АА₁С и ∆АС₁С.
2. Рассмотрим ∆АВС и ∆А₁ВС₁: <АВС=<А₁ВС₁ (вертикальные), <САС₁=<СА₁С₁ (вписанные углы опираются на дугу СС₁)
∆АВС∞∆А₁ВС₁ по двум углам.

(задание 23)
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.

Решение.
Рассмотрим ∆𝐴𝐴𝑀𝑀𝐾𝐾 и ∆𝐵𝐵𝑀𝑀𝑁𝑁.
∠𝐴𝐾𝑀=∠𝐵𝑁𝑀=90° ∠𝐴𝑀𝐾=∠𝐵𝑀𝑁 (как вертикальные)

I признаку подобия треугольников ⟹

𝐵𝐾 𝐵𝑁 = 𝐾𝐶 𝑀𝑁 .

AC 14x AC AC 14x 14x AC 14x = 12 11,2 12 12 11,2 11,2 12 11,2

AC= 14x∗12∗10 11,2∗10 14x∗12∗10 14x∗12∗10 11,2∗10 11,2∗10 14x∗12∗10 11,2∗10 =15x

2) ∆AEC: ∠E= 90 o 90 90 o o 90 o

1) ∆AEC и ∆BDC:

Решение:

∠E=∠D= 90 o 90 90 o o 90 o

(BD, AE−высоты (BD, AE−высоты (BD, AE−высоты

∆AEC~∆BDC

по двум углам по двум углам по двум углам

∠С−общий

AC BC AC AC BC BC AC BC = AE BD AE AE BD BD AE BD

Пусть x см – 1 часть, тогда BC= 14x

AC = 15x

EC=9x

AE =12

По теореме Пифагора AC 2 AC AC 2 2 AC 2 = EC 2 EC EC 2 2 EC 2 + AE 2 AE AE 2 2 AE 2

225x 2 225x 225x 2 2 225x 2 = 81x 2 81x 81x 2 2 81x 2 +144

225x 2 225x 225x 2 2 225x 2 − 81x 2 81x 81x 2 2 81x 2 =144

144x 2 144x 144x 2 2 144x 2 =144

x 2 x x 2 2 x 2 =1

x=1 или x=−1 – не удовлетворяет

AC = 15*1=15

Ответ: 15

5x

9x

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

(задание 23)

В треугольнике АВС высота BD =11,2 см, а высота АЕ=12см. Точка Е делит сторону ВС в отношении 5:9, считая от вершины В. Найти длину стороны АС.

Ответ: 65

План решения:
Найдите подобные треугольники и докажите их подобие
Запишите отношение сходственных сторон
Выполните необходимые вычисления
Запишите ответ

(Задание 23)
Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга

(задание 23)
Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐴𝐶𝐶 треугольника 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶,
пересекает стороны 𝐴𝐴𝐵𝐵 и 𝐵𝐵𝐶𝐶 в точках 𝑀𝑀 и 𝑁𝑁 соответственно.
Найдите 𝐵𝐵𝑁𝑁, если 𝑀𝑀𝑁𝑁=13, 𝐴𝐴𝐶𝐶=65, 𝑁𝑁𝐶𝐶=28.

Решение.
Рассмотрим ∆MBN и ∆ABC.

Ответ: 7.

(задание 23)

A

B

C

D

K

H

Дано:
ABCD – трапеция
BC, AD – основания
BC = 6, AD = 15
AC∩BD=O

S ABCD S S ABCD ABCD S ABCD =147

Найти: S AOD S S AOD AOD S AOD

6

15

1) ∆AOD и ∆BOC:

Решение:

∠AOD=∠BOC(как вертикальные)

∠A=∠𝐶𝐶

(как накрест лежащие
при BC || BD и секущей AC)

∆AOD~∆BOC(по двум углам)

k = AD BC AD AD BC BC AD BC

k = 15 6 15 15 6 6 15 6 = 5 2 5 5 2 2 5 2

2) S ABCD S S ABCD ABCD S ABCD = BC+AD 2 BC+AD BC+AD 2 2 BC+AD 2 ∗KH

147= 21 2 21 21 2 2 21 2 ∗KH

KH= 147 1 147 147 1 1 147 1 : 21 2 21 21 2 2 21 2

KH= 147∗2 21 147∗2 147∗2 21 21 147∗2 21 =14

О

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

№10(продолжение)

A

B

C

D

K

H

6

15

3) OH OK OH OH OK OK OH OK = 5 2 5 5 2 2 5 2

KH = OH +OK

Пусть OK – x, OH = 14-x

14−x x 14−x 14−x x x 14−x x = 5 2 5 5 2 2 5 2

28−2x=5x

28=7x

x=4

Значит, OK = 4, OH = 14-4 =10

S AO𝐷 S S AO𝐷 AO𝐷𝐷 S AO𝐷 = 1 2 1 1 2 2 1 2 ∗AD∗OH

S AO𝐷 S S AO𝐷 AO𝐷𝐷 S AO𝐷 = 1 2 1 1 2 2 1 2 ∗15 ∗10=75

Ответ: 75

О

Дан треугольник ∆ABC ,∠C −тупой. Из вершин A и B проведены высоты 𝐴𝐴 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 1 1 𝐴𝐴 1 и 𝐵𝐵 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 .

Доказать: ∆ABC~∆ 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 С 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1

A

B

A 1 A A 1 1 A 1

B 1 B B 1 1 B 1

C

α

α

Решение:

1) ∆A A 1 A A 1 1 A 1 C и ∆B B 1 B B 1 1 B 1 C:

∠ A 1 A A 1 1 A 1 =∠ B 1 B B 1 1 B 1 = 90 o 90 90 o o 90 o ( AA 1 AA AA 1 1 AA 1 , BB 1 BB BB 1 1 BB 1 −высоты)

∠ A A A A С A 1 A A 1 1 A 1 =∠BC B 1 B B 1 1 B 1 (как вертикальные)

∆A A 1 A A 1 1 A 1 C~∆B B 1 B B 1 1 B 1 C (по двум углам)

AC BC AC AC BC BC AC BC = A 1 C B 1 C A 1 A A 1 1 A 1 C A 1 C B 1 C B 1 B B 1 1 B 1 C A 1 C B 1 C (по свойству пропорции)

Значит,

Получим

B 1 C BC B 1 B B 1 1 B 1 C B 1 C BC BC B 1 C BC = A 1 C AC A 1 A A 1 1 A 1 C A 1 C AC AC A 1 C AC

2) Рассмотрим ∆ABC и ∆ B 1 B B 1 1 B 1 C A 1 A A 1 1 A 1 :

∠AСB=∠ B 1 B B 1 1 B 1 C A 1 A A 1 1 A 1

B 1 C BC B 1 B B 1 1 B 1 C B 1 C BC BC B 1 C BC = A 1 C AC A 1 A A 1 1 A 1 C A 1 C AC AC A 1 C AC

(как вертикальные)

∆ABC~∆ 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 С 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольник и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

(задание 24)

РЕШЕНИЕ.
1. По свойству углов вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов 4-угольника равна 180 ⁰ .
2. Пусть < В=𝛼 , тогда <АDС=180-𝛼.
3. По свойству смежных углов <МDA= 180- (180-𝛼)= 𝛼.
Рассмотрим ∆ MBC и ∆ МDA.
<М –общий, <В=< МDA=𝛼.
∆МВС∞∆ МDA по двум углам.

(Задание 24).
Известно, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и МDA подобны.

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P
соответственно и проходит через вершины B и C.
Найдите длину отрезка KP, если AP=18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
Решение.

Это равенство можно записать в виде пропорции.
Рассмотрим ∆KAP и ∆CAB.
𝐴𝐾 𝐴𝐶 = 𝐴𝑃 𝐴𝐵 ∠𝐴−общий ⟹∆𝐾𝐴𝑃~∆𝐶𝐴𝐵
∆KAP~∆CAB по II признаку подобия треугольников.
Значит, пропорциональность сохраняется для всех сторон,
т.е. 𝐴𝐾 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐾𝐾 𝐴𝐾 𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐾 𝐴𝐶 = 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃𝐾 𝐵𝐶 𝑃𝑃𝐾𝐾 𝑃𝐾 𝐵𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑃𝐾 𝐵𝐶 ⟹𝑃𝑃𝐾𝐾= 𝐴𝑃∙𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃∙𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝑃∙𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝑃∙𝐵𝐶 𝐴𝐵 == 𝐴𝑃∙𝐵𝐶 1,2𝐵𝐶 𝐴𝐴𝑃𝑃∙𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝑃∙𝐵𝐶 1,2𝐵𝐶 1,2𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝑃∙𝐵𝐶 1,2𝐵𝐶 = 𝐴𝑃 1,2 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐴𝑃 1,2 1,2 𝐴𝑃 1,2 = 18 1,2 18 18 1,2 1,2 18 1,2 =15

I способ.
Воспользуемся свойством:
«Если две секущие пересекаются вне окружности,
то имеет место равенство AK∙AB=AP∙AC».

(задание 25)

II способ.
Так как четырёхугольник PKBC – вписанный, то сумма противолежащих углов у него равна 180°, т.е. ∠PKB+∠PCB=180°.
Кроме того, ∠PKB и ∠AKP – смежные, значит, в сумме дают тоже 180°, т.е. ∠PKB+∠AKP =180°.
Из этих двух равенств заключаем, что ∠AKP=∠PCB. Тогда ∆PAK~∆BAC по I признаку подобия треугольников. Следовательно, стороны у них пропорциональны, т.е.

(задание 25)

Биссектриса СМ треугольника ABC
делит сторону АВ на отрезки AM = 5 и
MB =10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С,
пересекает прямую АВ в точке D.
Найдите CD.

Алгоритм решения:
1. Делаем чертеж.
2. Определяем равенство угла между касательной и хордой и угла АВС.
3. Определяем соотношение отрезков из свойства биссектрисы угла треугольника и найдем АВ.
4. Показываем, что треугольники DAC и DCB подобны.
5. Составляем соотношения сторон подобных треугольников.
6. Составляем систему равенств.
7. Решаем систему.
8. Записываем ответ.

(задание 25)

Решение:
1. Выполняем чертеж данной задачи.


2. Согласно свойству углов окружности, касательной и секущей, угол, который образован этими линиями, равен половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла. ∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника,
она делит АВ на отрезки АМ и МВ,
 пропорциональные сторонам АС и ВС. Таким образом,
                                                                                

Но вписанный ∠СВА опирается на ту же дугу АС и по свойству вписанного угла равен половине меры этой дуги. Следовательно, ∠ СВА=∠ АСD.

4. Рассмотрим ∆DAC и ∆DCB.
У них:∠ DCA = ∠ DBC по доказанному выше,
∠ D – общий.
Следовательно, ∆DAC и ∆DCB подобны по двум углам.

5. Из определения и свойств подобных треугольников имеем:

6. Составим систему равенств:

7. Решим систему:

Ответ: 10.

В выпуклом четырёхугольнике  NPQM диагональ  NQ является биссектрисой̆ угла  PNM и пересекается с диагональю  PM в точке S.

Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника  NPQM можно описать окружность, PQ=12,SQ=9 .

Решение.

Докажем, что треугольники  QSM  и  NQM подобны по двум углам.
Обозначим равные углы одинаковыми буквами:

(задание 25)

∠ PNQ = ∠ QNM, так как  NQ - биссектриса. Следовательно, дуга PQ равна дуге QM ,    и равны соответствующие хорды: PQ=QM=12.
Тогда  ∠ MPQ= ∠ PMQ как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Тогда треугольники  QSM и NQM подобны по двум углам.

Запишем отношения сходственных сторон:

QN=16

NS=NQ- QS= 16-9= 7

Ответ: 7