Применение производной к исследованию функций

Применение производной к исследованию функций

Производная функции позволяет находить промежутки монотонности (возрастание и убывание) функции и точки экстремума (максимальное и минимальное значения) функции.

Правило: чтобы исследовать функцию с помощью производной, нужно:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции (приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение)

3. Изображаем координатную прямую и отмечаем на ней точки из пункта 2. Расставляем знаки в промежутках (+ - +, если перед  + и - + - , если перед  -)

4. Если в промежутке стоит знак +, то на этом промежутке, функция возрастает, если -, то убывает.

Если производная при переходе через критическую точку меняет свой знак с + на -, то в этой точке максимум (max), если производная при переходе через критическую точку меняет свой знак с - на +, то в этой точке минимум (min).

5. Находи значения самой функции в точках максимума и минимума.

Записываем ответ.

№ 5. Этот пример был разобран тоже 29.01., у кого есть можно не писать, просто посмотрите, вспомните

 а) найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:

.

Решение:

1) Находим производную функции:

.

2) приравниваем производную к нулю и находим критические точки (решаем через дискриминант):

 (сокращаем на 6)

3-4. Отмечаем точки на координатной прямой и расставляем знаки. Там, где + значит функция возрастает – стрелка вверх, там, где – значит функция убывает – стрелка вниз. С + на – «max», с – на + «min».

                                    max                   min

                          +                     -                     +                               х

                                     -1                      2

5. Находим значения самой функции в точках максимума и минимума (подставляем числа в саму функцию).

;

№ 5. б) найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:

.

Решение:

1) Находим производную функции:

.

2) приравниваем производную к нулю и находим критические точки (решаем через дискриминант):

3-4. Отмечаем точки на координатной прямой и расставляем знаки. Там, где + значит функция возрастает – стрелка вверх, там, где – значит функция убывает – стрелка вниз. С + на – «max», с – на + «min».

                                    max                   min

                          +                     -                     +                               х

                                     -3                      1

5. Находим значения самой функции в точках максимума и минимума (подставляем числа в саму функцию).

= - 9+19 = 10