Поделиться
Возр.Убыв.по произв..pptx
Возрастание, убывание функции.
На рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а на рис.2 этот угол тупой. Если угол наклона касательной острый, это означает, что производная в этой точке положительна, и функция при увеличении значения переменной Х будет возрастать.( см. рис.1). Если угол наклона касательной тупой, как на рис.2, это означает, что производная в это точке отрицательна, и функция на этом участке убывает. (см.рис. 2.). Итак, условие возрастания и убывания функции:
Если f ´(x) > 0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке, если f ´(x)< 0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
0
0
min
max
min
min
max
№7
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Ответ: 6.
Решение:
Производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.
Таких точек 6 :
x =−4, x= −3, x= −2,
x=-1, x=0, х= 3.
–2
–1
–3
–4
0
3
у = f(x)
–6
5
у
х
Задача 1. На рисунке изображен график функции y = f (x),
Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.
Решение.
Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.
Ответ: 4.
Теоретические сведения.
Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение.
Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.
Ответ: 6.
Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.
a)
б)
Решите самостоятельно!
Задача 4. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
Решите самостоятельно!
a)
б)
Задача 5 На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.
Решение.
В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.
Ответ: 6 .
-10
-7
-1
2
6
Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
1
Решение.
Ответ: 3 .
-10
-4
Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´(x) < 0.
Наибольший из них имеет длину равную 3.
6
3
Задача 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наименьшего из них.
2
Решение.
Решение.
Ответ: 1 .
Ответ: 2 .
Найдем промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.
Наименьшую длину из них имеет промежуток (-2; -1).
Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´(x) > 0.
Наименьший из них имеет длину равную 2.
Задача 3.1. На рисунке изображен график функции y = f (x),
Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.
Решение.
Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.
Ответ: 4.
Теоретические сведения.
Задача 3.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение.
Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.
Ответ: 6.
Задача 3.3. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.
a)
б)
Решите самостоятельно!
.
Задача 3.4. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
Решите самостоятельно!
a)
б)
Задача 7.3. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3; 10 ].
Ответ: 4 .
1
2
На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: В скольких из этих точек функция возрастает?
На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: В скольких из этих точек функция убывает?
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. Отв. 4
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки
ИНТЕРВАЛЫ |
| ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ |
А) (a; b) | 1) производная отрицательна на всём интервале |
А | Б | В | Г |
На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ |
| ХАРАКТЕРИСТИКИ |
А) (a; b) | 1) Значения функции положительны в каждой точке интервала. |
А | Б | В | Г |
| |||
На рисунке изображён график функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
![Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке [1; 7]](https://fs.znanio.ru/d5af0e/ac/6d/549209b7387f704b14d69bcd7a6a72aee6.jpg)
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке [1; 7].
А)
Б)
В)
Г)
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ |
1) Функция имеет точку максимума на отрезке [1; 7] |
На рисунке изображен график функции определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
На рисунке изображен график функции определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?
На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]? (отв. -4)
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
