Применение некоторых методических подходов при объяснение темы «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения».

Применение некоторых методических подходов  при объяснение темы «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения».     цель  :      SMART   1. Конкретная (specific) познакомить обучающихся с новым разделом  математики: "Комбинаторика",  основными понятиями и задачами,  использованием в практических целях и в жизни человека 2. Измеримая (measurable) развивать умения решать комбинаторные  задачи  на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам  3. Достижимая (achievable) формирование практических навыков 4. Реалистичная  (realishes)   формировать активность личности обучающегося, умение работать в  группе  показать, что решения комбинаторных задач возникли из практических  потребностей человека.  ):     outcomes   5.Определенная во времени  (time­bound) научиться использовать знания на  следующем уроке Ожидаемые результаты (  Learning     должны знать (should be able): определение комбинаторики, виды  соединений, их свойства.  должны уметь (need to know): определять виды соединений, использовать их свойства, уметь решать задачи комбинаторного вида. Математическая   дисциплина  имеет   уникальный   потенциал  к формированию всех видов ключевых  компетенций.  Математические знания   связаны   прежде   всего   с   изменением   интеллектуальных структур. Психологическая   позиция­   одна   из   классификации   компетентностного подхода в образовании (компетенция измеряется не тем, «что может решить и что не может решить» студент, а тем, как он «воспринимает, понимает и объясняет») Процесс понимания: Понимание как осмысление Теоретическая часть материала (понятие комбинаторики, ее история, области ее применения в математических задачах и жизни, расшифровка результата человеческой деятельности) Понимание как объяснение («рациональное объяснение») Практическая   часть   материала   (приведение   различных   примеров   для правильного восприятия материала, где и как в последующих темах будем применять элементы комбинаторики).  (установление соответствия между знанием и реальной действительностью)  Понимание как интерпретация  Закрепление нового материала (самостоятельная работа) С   методологических   позиций   понимание   темы   «Элементы комбинаторики» связано  с установлением взаимосвязей (существенных сторон понятия, структур знания, в отношениях к знанию).  Сформированная компетенция, связанная с математическими знаниями,  характеризуется способностью устанавливать связи в новом материале. Создание   условий,   при   которых   будет   осуществляться  переход   от «познавательного   процесса»   к   «ментальному   опыту»  в   процессе обучения   элементов   математики   выражается   в   следующей закономерности: Закономерность 1.  Организация   учебного   математического   материала   в виде   содержательной   взаимообусловленности   будет   создавать   базу   для формирования компетенций, связанных с математическими знаниями. Соотношение учебной и математической задачи в процессе изучения математики: путь первый   (от математической задачи к  учебной): Предъявлена:  математическая задача   (решать   задачи,   в   которых производится   подсчет   возможных различных соединений, составленных из   конечного   числа   элементов   по путь второй  (от учебной к математической  задаче) Предъявлена:   заданий соединений, понятия,) Получена:  учебная задача (научится  серия   учебных виды (определять   выделить   ключевые некоторому правилу) Получен:  математический   факт (решая задачи – научились различать виды   соединений,   поняли   в   чем   их основные различия)  Освоен:  метод получения факта математического определенного   вида  (решение   задачи на три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания)     вычислять, находить, различать виды соединений, решать   комбинаторные задачи) математический факт Освоен:  метод   учебного   познания математических понятий уметь     Некоторая специфика использования первого пути: второго пути:   предполагает 1) опора на высокую познавательную мотивацию  к   математическому познанию; развитую 2) самостоятельность   математического познания; 3) математической мысли; 4)   не   требует   процессуально­ методической подготовки преподавателя.   формирует   «догматичность»       формирует  познавательную 1) мотивацию  к   математическому познанию; 2)   развивает  самостоятельность математического познания; 3)  креативный потенциал  учащегося   в   освоении математическими методами; 4)   требует   специальной   организации обучения математике. использует   Закономерность 2.  Создание   специальных   учебных   ситуаций,   в   процессе   которых математические   задачи   появляются   как   следствие   учебных   задач, способствует   формированию   компетенций,   связанных   с   математическими знаниями. Реализация   компетентностного     подхода к обучению математике требует реорганизации профессиональной деятельности преподавателя, связанной со   смещением   акцентов   с   разработкой   проблем   организации   учебной деятельности учащихся. Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, тесты, книги. I. Организационный момент. Ход занятия Какой смайлик соответствует твоему настроению  на начало урока?           Класс разделен на группы. В группе может быть 4 или 5 обучающихся.                                Каждый обучающийся отвечает за свое поручение. (Тем самым он учится быть и  руководителем, и секретарем и т.д). Переходя от каждого нового задания, обучающиеся  меняются поручениями.   Определение: Комбинаторика –  раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы:   сколько   всего   есть   комбинаций   в   том   или   ином   случае,   как   из   всех   этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare»,   что   в   переводе   на   русский   означает   –   «сочетать»,   «соединять».   Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, ­ всемирно известным немецким учёным. Комбинаторные задачи  делятся на несколько групп. Группы, составленные из каких­либо элементов, называются соединениями. Различают три  основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.  II. Сообщение новых знаний. Задача.  У   нас   имеется     5   книг,   что   у   нас   всего   одна   полка,   и   что   на   ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?  Выбираем одну из 5­ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5­ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4­мя способами и поставить рядом с одной из 5­ти возможных первых. Таких пар может быть 5∙4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3­ёх можно выбрать 3­мя способами и поставить рядом   с  одной  из   возможных   5∙4   пар.   Получится   5∙4∙3   разнообразных   троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5­ти 5∙4∙3 = 60. Это размещения . Определение:  размещениями из   n   элементов по   m   в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.     Число размещений из  n  элементов по  m  обозначается символом  An вычисляется по формуле   и m m=n(n−1)(n−2)…[n−(m−1)]. An  Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами   можно составить  расписание на один день, чтобы  в нём было 4 различных  предмета?          A9 4=9! 5!=6∙7∙8∙9=3024.     Задача: 1. Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке? Решение: abc  acb bac bca   cab cba                              Ответ: 6 Это задача на   перестановки   Определение: перестановками из  n  элементов называются такие соединения из всех n  элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.  Число перестановок из  n  элементов обозначается символом Pn=An n=n(n−1)(n−2)…3.2.1  или  Pn=1∙2∙3…(n−1)n. Число всех перестановок из  n  элементов равно произведению последовательных чисел  от 1 до  n  включительно. Произведение  1∙2∙3…(n−1)n  обозначают символом n!  (читается « n−факториал »), причем полагают  0!=1 ,  1!=1 .  Факториалы растут удивительно быстро. n 1 2 3 4 5 6 7 8           9                    10 1 4 6 n! 3 628800 Поэтому равенство  Pn=1∙2∙3…(n−1)n   можно переписать в виде  Pn=n!  . 5040 40 320    362 880 24 120 720 Используя формулу  Pn=n! , формуле  An m=n(n−1)(n−2)…[n−(m−1)]  можно  m= придать вид   An Pn Pn−m = n! . (n−m)! При решении задач часто используется равенство  An m m+1=(n−m)An . Задача. Сколькими способами можно расставить  8 участниц  финального забега  на   восьми беговых дорожках? P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320  Задача. Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! –  Кричит Мартышка, ­ погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 Задача.  Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если  выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5  книг? Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги  разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов  выборки, но несущественен порядок их расположения. 123  124  125  134  135  145         234  235  245                  345                                      ответ: 10 Это сочетания .     Определение: сочетаниями из  n  элементов по  m в каждом называются такие  соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число  сочетаний из   n   элементов по  m  обозначается  Сn ,  которую можно записать также в виде  Сn m.  Оно находится по формуле m= n! m!(n−m)!  или m An Pm n(n−1)…[n−(m−1)] m= Сn m= Сn m! . Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные  свойства сочетаний: m=Сn Сn n−m(0≤m≤n) (по определению полагают  Сn n=1  и  Сn 0=1 ); m+Cn Сn m+1 m+1=Сn+1 .   Задача. В  классе  7 человек  успешно занимаются  математикой.  Сколькими способами   можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? C7 2A= 7! 2!(7−5)! =21                        Ответ: 21 Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так,  чтобы он начинался словами «Сколькими способами…» Перестановки n элементов n клеток Размещения n элементов m клеток Порядок имеет Порядок имеет значение Pn=n! значение Pn Pn−m = n! (n−m)! m= An Сочетания n элементов m клеток Порядок не имеет значения m= n! Сn m!(n−m)! III. Физкультминутка. Рассмотрим задачи комбинаторного типа  связанные с Экспо­2017: 1) В связи с проведением выставки Expo­2017 в Астане  туристическая фирма планирует  посещение туристами в Казахстане четырех городов: Астана, Алматы, Чимкент и  Караганда. Сколько существует вариантов такого маршрута? 2) На втором этаже гостиницы «Астана», построенной для посетителей выставки «Экспо»,  имеются 6 одноместных комнат. Сколькими способами можно разместить на этом этаже  делегацию из Грузии, состоящую из 6 человек? (Ответ:  P6=6! ) 3) Сколькими способами можно выбрать восемь посетителей из одиннадцати желающих  для посещения тематического мероприятия во время проведения «ЭКСПО­2017».  (Ответ:  C11 8 = 11! 8!3!=9∗10∗11 2∗3 =165 ) 4) Сколькими способами можно рассадить группу из 4 человек в кортеж из пяти автобусов  направляющихся на выставку «ЭКСПО­2017» при условии, что все они должны ехать в  различных автобусах? (Ответ:  A5 4=120 ) 5) Составьте всевозможные перестановки из букв: Э, К, С, П, О (Ответ: P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120 ) 6) В международном павильоне «Экспо­2017» ­ 14 зданий, в каждом котором размещены по 5 стран. Все представители стран обменялись друг с другом брошюрами своих выставок.  Сколько всего будет роздано брошюр? (Ответ:  A70 2 =70! 68!=4830 ) 7) Международная специализированная выставка "ЭКСПО­2017" пройдет в Астане с 10  июня по 10 сентября 2017 года . В рамках мероприятия будут продемонстрированы  новейшие достижения в различных сферах науки. В связи с этим организаторы набирают  переводчика, менеджера, помощника администратора для павильонов выставок. На каждый павильон прислали резюме по 8 кандидатов. Сколькими способами из восьми кандидатов  можно выбрать три лица на три должности. (Ответ:  A8 3=8! 5!=336 ) 8) Гостей выставки «Экспо­2017» планируется удивить не только новейшими  технологиями, но и особенностями национальной кухни. Так, на территории выставки  будет порядка 30 ресторанов, кафетериев и 14 киосков. Сколькими способами  распределить 30 этносов по 30 ресторанам и кафе? (Ответ:  P30=30! ) 9) Международная специализированная выставка "ЭКСПО­2017" начнется с 10 июня 2017  года.  Сколько восьмизначных чисел можно составить из цифр 10.09.2017 без повторений?  (Ответ:  P8=8!=40320 ) 10) Для строительства жилья для участников выставки "ЭКСПО­2017" были созданы  рабочие бригады. Всего планируется сдать участникам 1374 квартир. Сколькими  способами из 200  рабочих можно создать бригады по 10 человек в каждой?  (Ответ:  C200 ). 10 IV. Закрепление темы. Тест по комбинаторики ( 8 обучающихся выполняют тест на компьютере, остальные на бумаге, взаимопроверка) Вариант 1.   1.    Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5  различных уроков?   1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5   2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4  человек для участия в математической олимпиаде?   1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48   3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?   1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30      № задания  № ответа                                                                                                                                 Вариант 2.   1.    Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?   1)           100              2)       30                3)       5                  4)     120   2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?   1)           3                  2)       6                  3)       2                  4)     1   3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного  дня из 4 различных уроков.   1)           10000                    2)       1680             3)       32              4)    1600 1 3 2 2 3 4   № задания 1 2 3 № ответа 4 1 2 Вариант 3.   1.    Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?   1)           24                2)       4                  3)       16                4) 20   2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?   1)           30                2)       21                3)       14                4) 7     3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя.  Сколькими способами это можно сделать?   1)  22                         2)       11                3)       150              4)     110       № задания № ответа                                                                1 1 2 2 3 4 Вариант 4   1.    Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?   1) 5        2)       120              3)       25                4)   100   2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх  для участия в  праздничном концерте?   1) 455                           2)       45           3)       475                4)   18   3.  В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты  могут завоевать золото, серебро и бронзу?   1)  600                       2)       100              3)       300              4)720     № задания № ответа 1 2 2 1 3 4 2)  Проблемный вопрос: Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни? Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении  олимпиадных задач, задач из  ЕНТ и математической грамотности. военное дело (расположение лингвистика  (рассмотрение вариантов  комбинаций  букв) спортивные  соревнования  (расчёт  количества  игр между  участниками) география  (раскраска  карт) подразделений) криптография (разработка  методов шифрования) сфера  общественного питания  (составление  меню) агротехника  (размещение  посевов на  нескольких  полях) химия (анализ  возможных  связей между  химическими  элементами) учебные заведения ( составление расписаний) Области применения комбинаторики биология  (расшифровка  кода ДНК) экономика  (анализ  вариантов  купли­продажи акций)  азартные игры  (подсчёт  частоты  выигрышей) доставка почты (рассмотрение  вариантов  пересылки)     Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.     Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.   Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике. Вывод: Комбинаторика повсюду. Комбинаторика везде. Комбинаторика вокруг  нас. VI. Д/з: 1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.  Сколькими способами из коробки  можно вынуть один шар любого цвета? 2.Айжан помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но  забыла, в  каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. 3.     В магазине “Спорт­мастер” продается 8 разных наборов марок, посвященных  спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? 4. Проект «История комбинаторики» VII.Итоговая рефлексия. Определи своё  настроение в конце урока Литература 1. Алгебра: учеб. для 7 класса общеобразоват. учреждений (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева) под ред. Г.В.  Дорофеева. – 2­е изд. – М. : Просвещение, 2006. 2. Евстафьева Л.П., Карп А.П. Алгебра: дидактические материалы для 7 класса  общеобразовательных учреждений. М. Просвещение, 2006 (стр.65, О ­ 30,  стр.131, П – 49). 3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей,  Алгебра 7­9.