Пример математической модели оптимального планирования

Пример математической модели оптимального планирования

Рассмотрим простой пример, с помощью которого можно получить представление об одном из классов задач оптимального планирования.

Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Поскольку производство пирожных более трудоемко, то, если выпускать только их, за день можно произвести не более 250, пирожков же можно произвести 1000 (если при этом не выпускать пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем пирожка; Требуется составить дневной план производства, обеспечивающий кондитерскому цеху наибольшую выручку.

Сформулируем эту задачу математически. Плановыми показателями являются:

% — дневной план выпуска пирожков;

у — дневной план выпуска пирожных.

Ресурсы производства —  это:

• длительность рабочего дня — 8 часов;
• вместимость складского помещения — 700 мест.

Получим соотношения, следующие из условий ограниченности времени работы цеха и вместимости склада, т.е. суммарного числа изделий. Из постановки задачи следует, что на изготовление одного пирожного затрачивается в 4 раза больше времени, чем на 1 пирожок. Если обозначить время изготовления пирожка tмин., то время изготовления пирожного равно 4tмин. Стало быть, суммарное время на изготовление х пирожков и у пирожных равно tx + 4ty = (х + 4y)t. Но это время не может быть больше длительности рабочего дня. Отсюда следует неравенство (х + 4y)t < = 8 * 60, или (х + 4y)t<=480.

Поскольку за рабочий день может быть изготовлено 1000 пирожков, то на один тратится 480/1000 = = 0,48 мин. Подставляя это значение в неравенство, получим: (х + 4y) * 0,48 < =480. Отсюда х + 4у <= 1000. Ограничение на общее число изделий дает    очевидное неравенство  х + у < =700.

К двум полученным неравенствам следует добавить условия положительности значений величин х и у (не может быть отрицательного числа пирожков и пирожных). В итоге мы получили систему неравенств:

x + 4y<=1000,  x + y<700, х >= 0, у >= 0         (a)

Формализуем стратегическую цель: получение максимальной выручки. Выручка — это стоимость всей проданной продукции. Пусть цена одного пирожка rрублей. По условию задачи, цена пирожного в два раза больше, т.е.  2rрублей.  Отсюда стоимость всей произведенной за день продукции равна r х + 2rу= r(х + 2у). Целью производства является получение максимальной выручки. Будем рассматривать записанное выражение как функцию от х, у: F(x, у)=r (х + 2у).Поскольку r—  константа, то максимальное значение F(x, y)будет достигнуто при максимальной величине выражения х +  2у. Поэтому в качестве функции, максимум которой соответствует стратегической цели, можно принять f(x,y)=x+2y (b).

Следовательно, получение оптимального плана свелось к следующей математической задаче: найти значения плановых показателей х и у, удовлетворяющих системе неравенств (а) и придающих максимальное значение целевой функции (b).