Признаки делимости

Приложение 1 Немного из истории. Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.  Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170­1228г.г.). Простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100. Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет   3.   Теперь,   оставив   число   3,   зачеркнем   числа,   делящиеся   на   3.   Затем   зачеркнем   числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.  Вопросы   делимости   чисел   рассматривались   пифагорейцами.   В   теории   чисел   ими   была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись   классы:   совершенных   чисел   (число   равное   сумме   своих   собственных   делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например   220   и   284:   284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110;   220=1+2+4+71+142),   фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.     Блез Паскаль           Пифагор.           Леонардо Пизанский     Эратосфен                                                                          (Фибоначчи) Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623­1662г.г.). Юный Блез очень  рано проявил выдающиеся математические  способности,  научившись считать раньше,   чем   читать.   Вообще,   его   пример   ­   это   классический   случай   детской   математической гениальности.   Свой   первый   математический   трактат   «Опыт   теории   конических   сечений»   он написал в 24 года. Примерно в это же время  он  сконструировал  механическую  суммирующую машинку,   прообраз   арифмометра.   В   ранний   период   своего   творчества   (1640­1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа  a  на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.  Т.о.,   признаки   делимости   были   известны   с   давних   времен   и   интересовали математиков.