Признаки делимости

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 15 г. Балашова Саратовской области» Исследовательская работа (проект) по алгебре Признаки делимости                                                                                                             Подготовила  ученица 7 Б класса МОУ СОШ №15 г. Балашова Харитонова Алена     Руководитель:  учитель математики   Михайлова М.И.    1 2016­2017 уч.год Содержание Введение (цель, задачи, гипотеза, методы исследования )………………3  Исторические сведения о признаках делимости…………………….. ……3 Понятие «признак делимости» ……………………………………………4 Признаки делимости на 2,5,9,и т.д.……………………………… ……….4  Заключение…………………………………………………………………7 Список использованной литературы……………………………………8 Приложение…………………………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Основополагающий вопрос проекта Как узнать, не выполняя деления, делится ли число на 2,3,4,5,7,8,10,11,13, 25? Задачи проекта 1. Изучить историю математики о делимости чисел. 2. Узнать признаки делимости на натуральные чисел от 2 до 101. 3. Изучить свойства делимости чисел. 4. Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых  головоломок и практических задач. Гипотеза: признаки делимости способствуют эффективному и  рациональному решению задач. Введение. На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на  2,3,5, 9 и на 10.  Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки  делимости на 4, 8,11,13,7 и другие числа. Неоценимо значение признаков  делимости для развития умений устного счета, а также при решении  цифровых головоломок и некоторых практических задач. 1. Из истории математики о делимости чисел Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку,  пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и  знаменателями к несократимому виду. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.  БЛЕЗ ПАСКАЛЬ(Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный  мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный  Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности,  научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же  время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз  3 арифмометра. За 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных  коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории  вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод  математической индукции. Признак делимости Паскаля. Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том  случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки,  получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.  Например: число 2814 делится на 7, так как 2*6 + 8*2 + 1*3 + 4 = 35 делится  на 7. (Здесь 6­остаток отделения 1000 на 7, 2­ остаток от деления 100 на 7 и 3­ остаток от деления 10 на 7). 2. Признаки делимости Признак делимости на 2. Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя  цифра чётная. П р и м е р :  124, 200, 152, 68, 406. Признак делимости на 3. Число делится на 2 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3. П р и м е р :  144 на 3, т. к. 1+4+4 =9 делится на 3. Признак делимости на 4. Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры  образуют двузначное число, делящееся на 4. П р и м е р :  724 делится на 4, т. к. 24 делится на 4. Признак делимости на 5. Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или  на 5. П р и м е р :  720, 655 делятся на 5. 4 Признак делимости на 7.  Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания  удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7. П р и м е р :  259 делится на 7, т. к. 25 — (2 * 9) = 7 делится на 7. Признак делимости на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три  цифры образуют число, делящееся на 8. П р и м е р :  6136 делится на 8, т. к. 136 делится на 8. Признак делимости на 9. Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится  на 9. П р и м е р :  6102 делится на 9, т. к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9. Признак делимости на 10. Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0. П р и м е р :  720 делится на 10. Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах,  делится на 11 П р и м е р :  100397 делится на 11, т. к. . 1+0+9=10; 0+3+7=10;  Можно проверить делимость числа на 11 другим способом: испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой  и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое  число кратно 11. П р и м е р : 15235 делится на 11, т. к. разбивая на группы и складывая их:  1+52+35=88 делится на 11. Признак делимости на 13.  Число делится на 13 тогда: ­ когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. П р и м е р :  845 делится на 13, так как на 13 делятся 84+ 5*4 = 104 и  10+4*4=26. =0 (нумерация идет слева направо). 5 ­ когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на  13. П р и м е р :  845 делится на 13, так как на 13 делятся 84­9*5=39. Признак делимости на 19. Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с  удвоенным числом единиц, делится на 19. П р и м е р :  646 делится на 19, так как на 19 делятся  и  Признак делимости на 23. Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен,  сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами,  делится на 23. П р и м е р :  28842 делится на 23, так как на 23 делятся  и  Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков,  сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. П р и м е р :  391 делится на 23, так как  Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен,  сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц,  делится на 23. П р и м е р :  391 делится на 23, так как  Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры  составляют число, которое делится на 25. П р и м е р :  175делится на 25, т. к. 75 делится на 25. Признак делимости на 99.  делится на 23.  делится на 23. • число делится на 99 тогда и только тогда, когда сумма групп чисел  делится на 99 (в каждой группе по два числа, деление на группы  начинается справа налево)  Пример: 1584 делится на 99,  так как 15+84=99   делится на 99. Признак делимости на 101. 6 • Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой  группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с  переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма  делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101 Пример: 590547 делится на 101, так как 59­05+47=101  делится на 101. 4. Применение признаков делимости при решении  практических задач. Задача № 1. Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в  страну Дураков» ­ две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты.  Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом  Карабас смог понять, что его обманывают? Решение. 3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3. Задача № 2 Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй ­ каждый второй вечер, третий ­  каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого  друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? Решение. Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на  7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420 Ответ: 1 раз в 420 дней. Задача № 3 Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и  которое делится на 2, 5, 9, 11. Ответ: 8910. Задача № 4. Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого  числа? 7 Решение. Число 135 делится на 5, 3, 9, значит, число состоит из этих цифр, сумма этих  цифр равна 17. Ответ: 17. Заключение В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по  математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10  существуют еще признаки делимости на 4,  7, 8, 11,  13,   19 и 23, 25 и 99, 101. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные  знания можно использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно  применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики  является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих  заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса ­ игры  «Кенгуру». В современном мире тоже используют признаки делимости!  Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине. Список литературы: 1. И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение» 2. Г. И. Глейзер, «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982,  «Просвещение» 3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги» 4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин.­М.:  Педагогика, 1989 5. Я. И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука» 6. Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам» 7. http://www.doronchenko.ru/2009/01/13/vse_pro_chislo_13.html 8