Признаки делимости

проект по алгебре «Признаки делимости» Выполнила Харитонова Алена, ученица 7 Б класса МОУ СОШ №15 2016- 2017г.

Как узнать, делится ли одно число на другое, не прибегая к традиционному делению «уголком» и помощи калькулятора?

Цель работы: Найти, изучить и систематизировать признаки делимости

Задачи: • Изучить историю математики о делимости чисел. • 2. Узнать признаки делимости на натуральные чисел от 2 до 101. • 3. Изучить свойства делимости чисел. • 4. Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Гипотеза Чтобы избежать нудных делений уголком, полезно знать признаки делимости

Признак делимости  алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Признаки делимости на 2,5,10,3,9,4, 25 Число делится На: 2 5 10 3 9 4 25 Если: Пример чётной  оно  оканчивается  цифрой: 0, 2, 4, 6, 8. оно  оканчивается  цифрой  0  или 5. оно оканчивается цифрой 0. этого  числа  этого  числа  сумма  цифр  делится на3. сумма  цифр  делится на 9. две  последние  цифры  этого  числа  число,  делящееся на 4. образуют  оно оканчивается на 00, 25, 50  или 75. чётной  оканчивается  26  цифрой 6; оно делится на 2. 95 оканчивается цифрой 5; оно  делится на5. 2500  оканчивается  цифрой  0;  оно делится на 10. 285  делится  на  3,  т.к.  сумма  цифр 2+8+5= 15, делится на3. 351  делится    на  9,  т.к.  сумма  цифр 3+5+1 = 9, делится на9.  3164;  две  последние  цифры  составляют  число  64,  оно  делится  на  4;  число  3164  делится на 4. 7325  оканчивается  на25;  оно  делится на 25.

Блез Паскаль (1623– 1662)французский религиозный мыслитель, математик и физик внёс большой вклад в изучение признаков делимости чисел.

Теорема Паскаля Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. Пример: число 2814 делится на 7, так как 2∙6+8∙2+1∙3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Признак делимости Число n делится на 8, если на 8 делится трёхзначное на 8: число, образованное из трёх последних цифр числа n. Пример. Число 199 619 971 998 на 8 не делится, т.к. трёхзначное число 998, образованное из трёх последних цифр числа, на 8 не делится. 234 543 267 808 делится на 8(808:8)

Признак делимости на11 • число делится на 11 в том и только в том  случае, если сумма его цифр, стоящих  на нечётных местах, отличается от  суммы цифр, стоящих на чётных  местах, на величину, кратную 11. • Например, 1969 делится на 11, так как (9+9) –(1+6)=18­7=11 делится на 11 • 15675 делится на 11 (1+6+5­5­7=0 : 11)

Признак делимости на 13 Число n делится на 13 в том и только в том случае, когда на 13 делится число, полученное из него зачёркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверённого значения зачёркнутой цифры. Например, число n = 52 делится на 13, так как число 5 + 4 ∙ 2 = 13 делится на 13. Применим правило для числа 2002: (20+2∙4)= 208 , (20+8∙4) =52 (5+2∙4) =13. Значит, число 2002 делится на 13.

Признак делимости на 19   число делится без остатка на 19 тогда и  только тогда, когда число его десятков,  сложенное с удвоенным числом единиц,  кратно 19. Число 608 делится на 19,  так как число 60+2 ∙ 8=76, 7+2∙6 =19. 1064 делится на 19  (106+2*4=114, 11+4*2=19)

Признак делимости на 23 • число делится на 23 тогда и только тогда, когда  число его сотен, сложенное с утроенным числом  десятков, кратно 23 28842 делится на 23,  • так как 288 + (3  ∙ 42) = 414,   4 + (3  ∙ 14) = 46 делится на 23. • 1334 делится на 23 (13+3*34=115, 1+3*15=46делится на 23)

Признак делимости на 99 • число делится на 99 тогда и только тогда,  когда сумма групп чисел делится на 99 (в  каждой группе по два числа, деление на  группы начинается справа налево)  • 1584 делится на 99,  так как 15+84=99    делится на 99.

Признак делимости на 101 • Разобьем число на группы по 2 цифры справа  налево (в самой левой группе может быть  одна цифра) и найдем сумму этих групп с  переменными знаками, считая их  двузначными числами. Эта сумма делится на  101 тогда и только тогда, когда само число  делится на 101 • 590547 делится на 101, так как 59­ 05+47=101  делится на 101.

Результаты работы 1.Я создала справочник: «Памятка для учащихся о признаках делимости». 2.Мой кругозор о числах расширился. 3. Мои вычислительные навыки повысились. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ