ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ 1. [4] Является ли простым число 1234567891011? Р е ш е н и е . Нет, оно делится на 3, так как сумма его цифр равна 48. 2. Можно ли выбрать из таблицы 5 чисел, сумма которых делилась бы на 20? Ответ объясните. 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 Р е ш е н и е . Нет, так как сумма любых пяти из этих чисел – нечётное число. 3. Найдите среди чисел вида 3а + 1 первые три числа, кратные 5.  О т в е т . 10, 25, 40. 4. [19] Делится ли значение выражения 11 ∙  21 ∙  31 ∙  41 ∙  51 – 111 на 10 нацело? О т в е т . Да, поскольку уменьшаемое оканчивается единицей, а разность – нулём. 5. [19] Замените буквы a, b, c цифрами:  1 ∙  2 ∙  3 ∙  4 ∙  5 ∙  6 ∙  7 ∙  8 ∙  9 ∙  10 ∙  11 = 399a68bc. Р е ш е н и е . 1) Число делится на 10, поэтому последняя цифра – 0. Таким образом, имеем 399a68b0.  2) Число делится на 11, поэтому 3 + 9 + 6 + b = 9 + a + 8, то есть 9 + b = = a + 8. Это означает, что a = b + 1.  3) Число делится на 9, поэтому 3 + 9 + 9 + a + 6 + 8 + b делится на 9, то есть a + b + 8 делится на 9 и a + b – 1 делится на 9. Из условия 2) следует, что 2b делится на 9. Учитывая, что b – цифра, 2b может быть равно только 0 или 18, то есть b = 0 или b = 9. Но если b = 9, то а = 10, а это невозможно. Значит, b = 0 и а = 1. Таким образом, имеем 39916800.6. [19] Восстановите запись,  не вычисляя:  14 ∙  15 ∙  16 ∙  17 ∙  18 ∙  19 = = 1953*040. О т в е т . 19535040. 7. [19] Найдите среди чисел вида 3a + 1 первые три числа, которые кратны 5. О т в е т . 10, 25, 40.  8. [19] Дано число 1234567…979899. Делится ли оно на 9? О т в е т . Да, сумма цифр числа делится на 9. 9. [19] Докажите, что сумма любых четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4. Р е ш е н и е .  Обозначим   наименьшее   из   данных   чисел   буквой  а,   тогда следующие – а + 1, а + 2, а + 3. В этом случае их сумма равна 4а + 6. Первое слагаемое делится на 4, а второе – нет. Значит, и вся сумма не делится на 4. 10.  В феврале некоторого года было 2505600 секунд. Високосным ли был этот год?  Р е ш е н и е . Да. Так как число 2505600 не кратно 28. 11. Сколько существует двузначных чисел, представимых в виде суммы двух натуральных чисел, каждое из которых кратно 11 или 17.  Выпишите эти числа.  О т в е т . 31 число: 22, 28, 33, 34, 39, 44, 45, 50, 51, 55, 56, 61, 62, 66, 67, 68, 72, 73, 77, 78, 79, 83, 84, 85, 88, 89, 90, 94, 95, 96, 99.  12. В   комнате   сидят   мальчики   и   девочки.   Мальчики   сидят   на   трёхногих табуретках, а девочки на обычных стульях. Всего в комнате 49 ног. Сколько в комнате мальчиков и сколько девочек? Р е ш е н и е .   Каждый   мальчик   вместе   с   табуреткой   имеет   5   ног,   каждая девочка вместе со стулом, на котором она сидит – 6. Всего ног 49. Это число не делится ни на 5, ни на 6, значит, в комнате и число мальчиков, и число девочек не равно 0. Ближайшее к 49 число, делящееся на 6, равно 48 (то есть девочек было бы 8), но остается 1 нога, а у каждого мальчика, сидящего на табуретке, их должно быть 5. Значит, девочек меньше 8. Будем уменьшать их количество так, чтобы разность 49 и количества ног девочек на табуретках делилась на 5: 49 = 48+ 1 = 42 + 7 = 36  + + 13 = 30 + 19 = 24 + 25. 24 делится на 6 и 25 делится на 5, то есть в комнате 4 девочки и 5 мальчиков. Проверим, что других ответов в этой задаче нет:  49 = … = 24 + 25 = 18 + 31 = 12 + 37 = 6 + 43. 13. Лев поручил лисе посчитать, сколько в лесу медведей, зайцев, волков. После подсчёта лиса доложила, что всего медведей, зайцев и волков в лесу 100, но волков на 25 больше, чем медведей; зайцев на 30 больше, чем волков. Один из зайцев, услышав такой ответ, расхохотался и сказал, что такого быть не может. Кто прав: лиса или заяц и почему?  Р е ш е н и е .  Прав заяц. Так как зайцев на 30 больше, чем волков, то без 30 зайцев животных в лесу будет 70, причём зайцев и волков будет одинаково. Так как волков на 25 больше, чем медведей, то с 25 дополнительными медведями в лесу животных будет 95, причём всех животных будет поровну. Но 95 на 3 не делится, значит, лиса не права. ОСТАТКИ 1. [12] Будет ли среди четырех последовательных натуральных чисел хотя бы одно делиться на 2? на 3? на 4? на 5? Р е ш е н и е . Сначала рассмотрим вопрос о делимости на 4. При делении на 4 возможны   четыре   разных   остатка: 0,   1,   2   или   3.   Если   первое   из   чисел   даёт остаток   0,   то   оно   кратно 4.   Если   оно   даёт   остаток   1,   то последнее   число кратно 4. Если оно даёт остаток 2, то третье число кратно 4. И, если оно даёт остаток 3, то второе число кратно 4. О делимости на 2 и 3. Рассуждая так же, как в случае делимости на 4, придём к выводу, что в обоих случаях найдётся кратное число. Теперь о делимости на 5. Если первое число даёт при делении на 5 остаток 1, то ни одно из четырех чисел не будет кратно 5 (например, если эти числа  21, 22, 23, 24).  Итак,  обязательно   найдутся   числа,   кратные 2, 3, 4,  но может не найтись числа, кратного 5. 2. Докажите,   что   из   трёх   целых   чисел   всегда   можно   найти   два,   сумма которых делится на 2. Р е ш е н и е . Среди трёх целых чисел всегда найдутся либо два чётных, либо два нечётных числа. 1) Допустим, имеется 2 чётных числа: а = 2k и b = 2m,  тогда a + b = = 2k + 2m = 2(k + m), а это выражение делится на 2.2) Допустим, имеется 2 нечётных числа: а = 2k + 1 и b = 2m + 1, тогда a + b = 2k + 1 + 2m + 1 = 2(k + m + 1), а это выражение делится на 2. 3.  Запишите какое­нибудь трехзначное число, которое делится на 9, а при делении на 5 дает остаток 4. Сколько различных чисел, удовлетворяющих этим условиям можно записать? О т в е т . Число делится на 9, значит, сумма его цифр равна 9, 18 или 27 (0 не может   быть,   так   как   в   этом   случае   число   не   будет   трехзначным).   Если   при делении на 5 число дает остаток 4, то оно оканчивается на 4 или на 9. Тогда искомых чисел 16: 504, 594, 684, 774, 864, 954, 189, 279, 369, 459, 549, 639, 729, 819, 909, 999. 4. [19] Запишите какое­нибудь четырехзначное число, которое делится на 4, а при делении на 3 дает остаток 2. О т в е т . Например, 5000. 5.  [19] Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 9 дает остаток 2, а при делении на 6 – остаток 1? Р е ш е н и е .   Если   число   при   делении   на   9   дает   остаток   2,   то   его   можно представить в виде 9k + 2. Если число при делении на 6 дает остаток 1, то его можно представить в виде 6n + 1. Проверим, возможно ли, что 9k + 2 = 6n + 1, или   9k  + 1 = 6n? Правая часть равенства делится на 3, а левая – нет. Значит, такое равенство невозможно, и число, удовлетворяющее данным условиям, не существует. 6. Найдите остатки от деления: а) 2013 ∙  2014 ∙  2015 + 20163 на 7; б) 9100 на 8.  Р е ш е н и е . а) 4 – остаток от деления 2013 на 7,  5 – остаток от деления 2014 на 7, 6 – остаток от деления 2015 на 7, число 2016 делится на 7 нацело. Тогда заменим данные числа их остатками от деления на 7: 4 ∙   5 ∙   ∙   6 + 03. Таким образом, 120 дает остаток 1 при делении на 7, значит, и 2013 ∙  2014 ∙  2015 + 20163 дает остаток 1 при делении на 7. б) Число 9 дает остаток 1 при делении на 8, значит, 9100 дает остаток 1 при делении на 8.7. [5] Найдите остатки от деления: а) 1001 ∙  1002 ∙  1003 + 10042 на 5; б) 1288 на 11.  О т в е т . а) 2; б) 1.  8. [5] Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любого натурального n. Р е ш е н и е .  1)   Пусть  n  дает   остаток  0  при   делении   на  3.  Тогда  n3  и  2n делятся на 3 нацело, поэтому n3 + 2n делится на 3. 2) Пусть n дает остаток 1 при делении на 3. Тогда n3 дает остаток 1 и 2n дает остаток 2, поэтому n3 + 2n дает остаток 1+2, то есть делится на 3. 3) Пусть n дает остаток 2 при делении на 3. Тогда n3 дает остаток 2 и 2n дает остаток 1, поэтому n3 + 2n дает остаток 2 + 1, то есть делится на 3. Итак, n3 + 2n делится на 3 при любом натуральном n. 9. [5] Докажите, что n5 + 4n делится на 5 для любого натурального n. П о д с к а з к а . Решение аналогично предыдущей задаче. 10. [5] Докажите, что n2 + 1 не делится на 3 на при каком натуральном n. Р е ш е н и е . 1) Пусть n дает остаток 0 при делении на 3. Тогда n2 делится на 3 нацело, поэтому n2 + 1 дает остаток 0 + 1 при делении на 3, то есть не делится на 3. 2) Пусть  n  дает остаток 1 при делении на 3. Тогда  n2  дает остаток 1 при делении на 3, поэтому  n2  + 1  дает остаток 1 + 1 при делении на 3, то есть не делится на 3. 3) Пусть  n  дает остаток 2 при делении на 3. Тогда  n2  дает остаток 1 при делении на 3, поэтому  n2  + 1  дает остаток 1 + 1 при делении на 3, то есть не делится на 3. Итак, n2 + 1 не делится на 3 при любом натуральном n. 11. [5] Докажите, что n3 + 2 не делится на 9 на при каком натуральном n. П о д с к а з к а . Решение аналогично предыдущей задаче.