Проект по математике "Приёмы быстрого счёта"

КИРОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ТЕХНИКУМ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И НАРОДНЫХ ПРОМЫСЛОВ

Г. СОВЕТСКА»

 

 

 

 

Приёмы быстрого счёта

 

 

 

Работу выполнила:

Скулкина Алевтина Александровна  

Руководитель:

 Чернова Ирина Николаевна,

преподаватель математики преподаватель математики

КОГПО АУ «Техникум промышленности и

народных промыслов

г. Советска»

 

 

 

 

 

 

 

 

Советск, 2016

 

«Счет, вычисления – основа порядка в голове»

Песталоцци

 

Введение

- Умеете ли Вы считать?

Конечно, каждый скажет: «Да!»

Это очень важное умение, так как вычислительные навыки являются фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

Но сегодня особо ценится умение не только правильно, но и быстро считать.

- Хорошо ли Вы считаете?

Об этом можно судить:

- по умению производить устные и письменные вычисления;

- по рациональной организации хода вычисления;

- по умению убеждаться в правильности полученных результатов.

А качество вычислительных умений определяется:

- знанием правил;

- знанием алгоритмов вычислений.

Проблема исследования: много ошибок при выполнении вычислений, сложности при устном счёте.

Гипотеза: предположим, что существуют специальные способы выполнения действий, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей, которые позволяют свести вычисления к устным. Главное – тренировка.

Цель работы: найти и освоить специальные приемы устного счета, не требующие уникальных способностей.

Задачи:

• найти в научной литературе специальные приёмы устного счёта;
• освоить приёмы, позволяющие выполнить действия с числами быстро (устно) и безошибочно;
• провести анкетирование в 5, 7 и 10 классах по проблеме исследования;
• создать буклет, в котором разместить информацию о наиболее полезных приёмах быстрого счёта.

Практическая значимость:

Содержанием своей работы я хотела бы ознакомить студентов с уникальными приемами быстрого счёта. Результаты данного исследования могут быть использованы учителями, родителями, учащимися.

Методы исследования:

• Анализ литературы по проблеме исследования.
• Практическое выполнение вычислений.
• Поиск информация в электронных источниках.

Трудно сказать, когда появились числа, и как человек научился считать. Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек, сам не замечая того, научился считать, производить вычисления. Для счета использовали пальцы рук, ног, различные предметы.

Сначала люди научились складывать и вычитать, потом умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В соответствующей литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником».

В огромном мире людей с давних пор известны обладатели феноменальных способностей устного счета. Ими владели многие ученые, например, Андре Ампер и Карл Гаусс. А также и многие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом. Ранее на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счете. Иногда они устраивали между собой показательные соревнования, проводившиеся, в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, таких как Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме. На нем собираются лучшие феноменальные счётчики планеты.

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.

Известна необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета".

Научиться быстро считать не так уж сложно, необходимо владеть основными приемами быстрого счета.

Приёмов устного счёта существует огромное множество. Все приемы можно объединить в две группы:

• общие (приемы, в которых используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)
• специальные (для конкретных чисел, частные случаи)

Глава 1. Общие приемы устного счета.

1.1.Прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий

Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:

1) Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.

2) Использование сочетательного и переместительного свойств.

3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.

Пример:

Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.

• пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.

28=20+8 32=30+2

47=40+7 13=10+3

• воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:

20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон)

(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) – (сочетательный закон)

• выполняем сложение каждой группы

50+10+50+10

50+50+10+10 (переместительный закон)

100+10+10=120 выполняем сложение

1.2. Использование распределительного свойства при умножении и делении

В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Принятый у меня обычный способ умножения является наиболее удобным в младших классах.

Распределительное свойство умножения:

(а + b)· с = а · с + b · с

(а – b)· с = а · с – b · с

Примеры:

198 · 4=(200–2) ·4=200 ·4 – 2·4=800 – 8=792

91 · 8 = (90 + 1) · 8=90 ·8 + 1 · 8=720 + 8=728

69 · 27 + 31 · 27=(69 +31) · 27=100 · 27=2700

438 ·90–238·90=(438–238)·90=200 ·90=1800

Глава 2. Специальные приемы устного счета

 

2.1. Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

 

Примеры:

24 · 1,5 = 24 + 12 = 36

129 · 1,5 = 129 + 64,5 = 193,5

2.2. Умножение и деление на 4, 8, 16…

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.

Пример:

213 · 4 = (213 · 2) · 2 = 426 · 2 = 852

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Пример:

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

Чтобы умножить число на 8 его трижды удваивают.

Чтобы умножить число на 16 его четырежды удваивают и т.д.

При делении числа на 8 необходимо его трижды поделить на 2.

При делении числа на 16 необходимо его четыре раза поделить на 2.

Примеры:

2.3. Умножение и деление на 5, 25, 125

Множитель, который умножаем на 5,50,500, представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте.

Пример:

24·5 = (20 + 4) · 5 = 20 · 5 + 4 · 5 = 120

Но есть более простой способ! Если один из множителей увеличить в два раза, то и произведение увеличится в 2 раза, следовательно, для получения истинного результата надо полученное произведение уменьшить в два раза.

Пример:

138 · 5 = (138 · 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

56 · 5 = 58 : 2 · (5 · 2) = 29 · 10 = 290

(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза)

При умножении числа на 25, сначала мы умножаем на 100, а полученный результат делим на 4, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100.

Пример:

348 · 25 = 34800 : 4 = 8700

Для использования этого приёма надо помнить, что 125 это 1/8 часть 1000, т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала мы умножаем на 1000, а полученный результат делим на 8, чтобы получить истинную величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000.

Пример:

72 · 125=72 · 1000 : 8=72000 : 8=9000

2.4. Умножение на 9, 99,999, …

Множители 9, 99, 999 на единицу меньше круглых чисел 10, 100, 1000. Поэтому умножение числа 9 мы можем выполнить так: умножаем число на 10 и вычитаем из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. берем число не 9, а десять раз и уменьшаем после на это же число).

Умножение числа на 99, 999 производится аналогично.

Примеры:

1) 25•9=25•10–25•1=250–25=225

2) 35•99=35•100–35•1=3500–35=3465

Примеры:

1) 25•9=25•10–25•1=250–25=225

2) 35•99=35•100–35•1=3500–35=3465

2.5. Умножение на 11, 101, 1001,…

Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь мы будем числа сначала умножать на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз это же число.

Примеры:

1) 87•11=87•10+87•1=870+87=957

2) 232•11=232•10+232•1=2320+232=2552

Это общий приём умножения на 11.

Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом: достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом (пример 2).

Примеры:

1) 54х11=594, (5+4=9)

2) 78х11=858 (7+8=15, 7+1=8).

Этот приём основан на умножении столбиком на 11:

78•11=858

2.6. Прием возведения в квадрат числа оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, умножают число его десятков на число десятков, увеличенное на 1, и к полученному числу приписывают 25.

Примеры:

= 9025

2.7. Прием округления

Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.

Прием заключается в следующем:

1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляем столько единиц, сколько не хватает до нужного нам «круглого» числа.

2) Затем из результата вычитаем столько же единиц, сколько прибавляли.

Примеры:

1) 399+473=400+473=873–1=872 (399 округляем до 400, т.е. прибавляем 1, а затем из результата вычитаем 1)

399+473=(399+1)+(473–1)=400+472=872

2) 56–38=(56+4–38) – 4=(60–38) – 4=22–4=18 (если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц)

3) 72–15=((72–2) – 15)+2=(70–15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо прибавить)

4) 752–298=(752 – (298+2))+2=(752–300)+2=452+2=454 (если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшаются на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.)

93–22=(93 – (22–2)) – 2=(93–20) – 2=73–2=71

Существуют и другие приемы быстрого счета.

Заключение

Целью работы стало изучение и освоение приёмов устного счета, не требующих уникальных способностей. В процессе выполнения работы: ответила на вопрос как человек научился считать, узнала историю создания целой системы повышения быстроты счета, убедилась, что научиться быстро считать не так уж сложно, необходимо владеть основными приемами быстрого счета, главное - тренировка.

Считаю, что проведенная мною работа интересна и познавательна.  Множество материала по данной теме свидетельствует о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами. Я ближе познакомилась со специальными приёмами, позволяющими выполнить действия с числами быстро (устно) и безошибочно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Источники информации

1)    Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.

2)    Вроблевский. Как научится легко и быстро считать. - М.-1932.-132с.

3)    Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М., Учпедгиз, 1948.

4)    Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк: Сталкер, 1997 г.

5)    Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967. −150с.

6)    Мартель Ф. Приемы быстрого счёта. - Пб. −1913. −34с.

7)    Перельман Я. И. Быстрый счёт. 30 простых приёмов устного счёта. Л.: Союзпечать, 1945.

8)    Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.

9)    http://www.superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта

10)                       http://www.all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Общие приемы устного счета

1.     Разложение каждого слагаемого на разряды

• 673 + 243 = 673 + 200 + 40 + 3 = 916
• 864 - 243 = (864 - 200) - 40 - 3 = 621

2.     Использование переместительного и сочетательного свойства сложения и вычитания

• (457 + 705) +295 = 457 + (705 + 295) = 457 + 1000 = 1457
• (237 + 118) – 37 = (237 – 37) + 118 = 200 + 118 = 318
• 729 – (513 + 129) = (729 – 129) - 513 = 600 – 513 = 87

3.     Распределительное свойство умножения

(а + b)· с = а · с + b · с

(а – b)· с = а · с – b · с

Используйте при устном счете

• (80 + 240) : 8 = 80 : 8 + 240 : 8 =10 + 30= 40
• 405 :27+135 :27=(405+135) : 27=540 :27=20