Проект по математике на тему "Признаки делимости чисел"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Цнинская СОШ№2»

Исследовательский проект

«Признаки делимости чисел»

Проект выполнила:

Незнанова Елизавета,

ученица 5 Г класса

Руководитель проекта

Дымова Н.В.,

учитель математики

1. Введение

2. Актуальность

3. Цель

4. Задачи

5. Гипотеза

6. Теория о признаках делимости

7. Исследование

8. Вывод

9. Заключение

10. Список литературы

Введение

Мир вокруг нас поражает разнообразием различных тайн. Одним из ключей к загадкам Вселенной являются числа. Еще Пифагор сказал: «Мир построен на силе числа».

В школьном курсе я изучила признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Этого недостаточно и я решила расширить круг своих познаний по этому вопросу. Так и началась работа над этой темой.

Актуальность

При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» нас заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деление, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Мы решили написать исследовательскую работу по данной теме.

                                       Цель проекта

Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел.

                                             Задачи

1. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости.

2. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.

3. Сделать вывод.

                                       Гипотеза

Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Теоретический материал

Мы сталкиваемся с числами на каждом шагу, они сопровождают нас от рождения до старости.

В школе на уроках математики мы изучаем разные числа, выполняем действия с ними. Часто приходится выполнять деление для решения задачи.

 Из уроков математики я узнала признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и 10. По этим правилам я теперь могу ,не выполняя деления, узнать, кратно ли данное число ,например, двум или девяти.

При разложении чисел на простые множители мне пришлось число делить на 7. А как узнать, деление получится с остатком или без остатка? Нет ли признаков делимости на 7? А на другие числа?

Я нашла в энциклопедическом словаре определение признака делимости.

Признак делимости - это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным тому или иному числу.

При помощи интернета и дополнительной литературы я нашла признаки делимости на числа, которые я не изучала по школьной программе :

1) Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7  

(Например, 343 делится на 7, так как 34- (2*3) =34 – 6=28 делится на 7).

Также я обнаружила ещё один способ:

2) Для того, чтобы узнать, делится ли число на 7 , разделим его от правой руки на грани по 3 цифры в каждой; составим сумму граней нечетного порядка и из них вычтем сумму граней четного порядка (или обратно). Если разность делится на 7 ,то и число делится на 7.

В процессе работы над этой темой я узнала, что существует пара совершенно разных признаков делимости на 11.

1) Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

(Например, 14641 делится на 11, так как 1+6+1=4+4.)

2) Число разбивается справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если полученная сумма  кратна 11, то и число кратно 11.

А для того чтобы узнать кратно ли число 12, нужно проверить делится ли оно на 4 и на 3 одновременно.

(Например, 24 делится на 4 и на 3, поэтому оно будет кратно 12).

Признак делимости на 13 я пока нашла только один. Он похож на признак делимости на 7, только последнюю цифру надо не удваивать , а умножать на 9.

(Например,  361 делится на 9, так как 36 – (1*9) = 36 - 9 = 27 делится на 9).

Число которое делится на 14 можно проверить по такой же схеме как и на 12. Только число должно делиться на 7 и на 2.

(Например, число 42 делится одновременно на 2 и 7).

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков,  сложенное с удвоенным  числом единиц, кратно 19 .

(Например, 646 делится на 19, так как  64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

 Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Исследование

Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах. Например:

Один человек записывает на листочке бумаги любое трехзначное число. Передает другому. Второй приписывает к этому числу справа такое же число и передает эту запись уже шестизначного числа третьему. Третий пусть разделит данное число на 7 и передаст четвертому. Четвертый разделит этот результат на 11 и передаст пятому. Пятый разделит результат на 13 и передаст первому. Если все вычисления были выполнены правильно, то первый получит трехзначное число, которое он первоначально написал на бумаге. В данном фокусе удивляет не то, что первый получает записанное им число, а то что «фокусник» уверен, что данное число делится на 7, 11, 13 – что бывает не так уж и часто. Разгадка в том, что приписывая к трехзначному числу точно такое же трехзначное число это равносильно умножению на 1001. А 1001 равно произведению 7, 11, 13.

Я решила провести анкетирование среди своих одноклассников, чтобы выяснить, знают ли они признаки делимости, например, на 7, 11, 33, 14 и хотят ли они изучить их?  Ответы ребят меня порадовали. Оказалось, что большинство, как и я, хотят узнать больше о признаках делимости, эта тема вызвала у них интерес.

Узнав много других признаков делимости, я сделала вывод:

Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков трудные. Может, поэтому они не изучаются в школе.

Заключение

Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Информацию по данной теме я искала в энциклопедии и интернет источниках. Все найденное поможет мне при решении примеров, сделает мою работу легче и быстрее.

                           Список литературы

1. И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»

2. Г. И. Глейзер, «История математики в школе», Москва, 1982, «Просвещение»

3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги»

4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, 1989

5. Я. И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»

6. Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам»

Скачано с www.znanio.ru