Производная и ее применение

Тема урока: Производная и её применение

Преподаватель: Вишталюк Н.А.

Цели урока:

узнать историю открытия производной;
узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники.
ввести определение производной
познакомиться с правилами дифференцирования
Узнать в чём заключается геометрический и физический смысл производной

немного из истории

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке.
Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.
Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

1. Выражение вида f появилось уже в конце 17 в.
и означает «приращение».



2. Термин производная ввел в 1797г. Ж. Лагранж



3. И. Ньютон называл производную функцию
флюксией , а саму функцию – флюентой.




Раздел математики, в котором изучаются
производные и их применения к исследованию
функций , называется
дифференциальным исчислением.

Дифференциальное исчисление создан
Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия.

Приращение аргумента, приращение функции.

Пусть х – произвольная точка, лежащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки х0.
Разность х-х0 называется приращением
независимой переменной
(или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х.
∆х = х – х0 – приращение независимой переменной
Приращением функции f в точке x0
называется разность между значениями
функции в произвольной точке и значением
функции в фиксированной точке.

f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f
∆f=f(х0+∆х) – f(х0)

Таблица производных элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то справедливы следующие правила:
1. Производная суммы (u+v)'= u' + v'
2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu'
3. Производная произведения
(uv)'=u'v+uv'
4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv') / v2

Образцы решения задач.

Тест по теме «Производная функции»

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной со-
стоит в том, что производная в точке х0
равна угловому коэффициенту касательной
в точке х0 и тангенсу угла наклона касатель-
ной
k=tgα=∆y/∆x

Механический смысл производной(физический смысл производной)

Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t0:
S'(t0)=V(t0).

Ответим на следующие вопросы:

Сформулируйте определение производной функции?
Как называется математическая операция нахождения производной функции?
В чем заключается геометрический смысл производной функции?
Каков физический (механический) смысл производной?