Производная. Нахождение производной степенной функции, производной алгебраической суммы нескольких функций и производной произведения двух функций.
Оценка 4.8

Производная. Нахождение производной степенной функции, производной алгебраической суммы нескольких функций и производной произведения двух функций.

Оценка 4.8
Интерактивная доска +4
doc
математика
Взрослым
04.04.2020
Производная. Нахождение производной степенной функции, производной алгебраической суммы нескольких функций и производной произведения двух функций.
Файл содержит 4 страницы: 1 страница - определение производной, 2 страница - формула для нахождения производной степенной функции с целым показателем, 3 и 4 стр. - разбираются примеры и даются задания для самостоятельного решения на правила производной суммы и произведения.
Производная.Сумма и произведение .doc

Производная. Нахождение производной степенной функции, производной алгебраической  суммы нескольких функций и производной произведения двух функций.

 

 

Определение. Производной функции f в точке xo  называется предел, к которому стремится отношение  при ,

стремящемся к нулю.

 

= XX- приращение независимой переменной ( или приращение аргумента),

X0 – начальное значение аргумента,

Xновое значение аргумента,

- приращение аргумента.

 

f (X0) – начальное значение функции,

f (X) – новое значение функции,

Df = f (X) - f (X0) = f (X0 +) –приращение функции.

 

Производная функции f в точке X0 обозначается f ¢( X0 ).

(читается: Эф штрих от X0 ).

Производную еще называют скоростью изменение функции в точке X0.

Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

На основании определения производной выводятся правила дифференцирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная степенной функции с целым показателем.

1.    Производная постоянной.

Производная постоянной величины равна нулю.

( С ) ¢ = 0

(С – постоянная величина ).

Примеры.

( 5 ) ¢ = 0

( - ) ¢ = 0

( 8,5 )¢ = 0

2.    Производная степенной функции.

Производная степенной функции вычисляется по формуле:

 

( X n )¢= n× X n-1

 

( n- любое целое число. Х – любое число ¹ 0 ).

Примеры.

1. ( Х 5 )¢ = 5 Х 4

2. ( Х 8 )¢  = 8 Х 7

3. ( Х -3 ) = -3 Х -4 = -                                  

4.

Выполните задания в тетради, заполнив пропуски:

1) (C )¢ = . . .                                    8)    (X )¢  = . . .

2)  (2 )¢  = . . .                                   9)    ( X 2)¢  = . . .

3)  ( - 4 )¢  = . . .                                10)   ( X 7 )¢  = . . .

4)   ( )¢  = . . .                             11)   ( X -8 )¢  = . . .

5)   ( - 0,18 )¢  =. . .                           12)   ()¢  = . . .

6)  ( . . .)¢  = 0                                   13)  ( . . . )¢  = 6 X5

7)  ( . . . )¢  = 0                                  14)  ( . . . )¢ = - 10 X -11

 

 

Производная алгебраической суммы.

 

Задание 1.

Даны функции  f ( X ) = X 3  и ее производная  h ( X ) = 3X 2

 Как записать равенство этих двух функций ?

Записать это равенство в тетрадь.

Задание 2.

Не вычисляя производных, заполните пропуски. Выполните в тетради.

1)   ( 3Х + Х3 )¢  = . . . + ( Х3 )¢

2)   ( 5 – Х7 + Sin X )¢  = ( 5 )¢  - . . . + . . .

3)   ( . . . – X )¢ = ( 2X 3 )¢ – (X )¢

4)   ÖX + . . . )¢ = . . . + (2COS X )¢

5)   ( 2X – X 5 + 4 )¢  = . . . - . . . + . . .

6)    ( . . . + . . . )¢ = ( 7X )¢ + ( 2tgX)¢

Задание 3.

Запишите в тетрадь правило нахождения производной суммы, заполняя пропуски.

Производная   . . .  функций, каждая из которых имеет  . . .  , равна сумме  . . .  этих функций.

Задание 4.

Запишите формулу, выражающую правило дифференцирования суммы функций, обозначив две функции буквами U  и  V. Найдите это правило в таблице производных.

Задание 5.

Найдите производные следующих функций:

 

( U ± V )¢ = . . .

 

 

1)     Y ¢  = ( X + 2 )¢ = . . .

2)     Y ¢= ( X 3 + X )¢ = . . .

3)     Y ¢ = (  + 5 – COS X ) ¢ = . . .

4)     Y ¢ = ( 1 – X )¢  = . . .

5)     Y ¢ = ( Sin X + tg X )¢  = . . .

6)     Y ¢ = ( X 2  + )¢  = . . .

7)     Y¢ = ( 1,7 – Ctg X + X )¢  = . . .

 

 

Производная произведения двух функций.

 

 

               ( U × V )¢  = U ¢ × V + U × V ¢                   ( ф. 1)

 

 

Следствие:         ( C × U ) ¢ = C × ( U ) ¢                       ( ф. 2 )

                                    

                                 (   C  - постоянная величина  )

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

 

 

 

Пример 1.  Найти производную произведения двух функций f(X)× g (X),

                    если          f(X) = X3 + X    и      g(X) = X 2 – 2.

Решение.

f(x) ×g(X) = ( X3 + X) × (X2 – 2)

обозначим   U = ( X3 + X) ,        V = ( X2 – 2)

воспользуемся ф. 1.

(( X 3 + X) × (X2 – 2)) ¢ = ( X3 + X)¢ ×(X2 – 2) + ( X3 + X) ×(X2 – 2)¢ =

((X3 )¢ + (X)¢)× (X2 – 2) + ( X3 + X)× ((X2 )¢  – ( 2 )¢) = (3X2 + 1) ×(X2 – 2) +

(X3 + X) × ( 2X - 0 ) =(3X2 + 1) ×(X2 – 2) +(X3 + X) ×  2X = 3X4 6X2 +X2 – 2 +2X4 + 2X2 = 5X4 -3x2 – 2.

 

Пример 2.  Найти производные.

воспользуемся ф. 2.

          y = 5COS X

y¢ = ( 5COS X )¢ = - 5Sin X

1)    y = 10X3 + 3X

y¢ = (10X3 + 3X )¢ = (10X3 )¢  +( 3X )¢ = 30X2 + 3 × 1 =30X2 + 3

 

          Задание для выполнения в тетради.

 

Заполните пропуски:

( C ×U )¢ = …                                                ( U × V )¢ = …

 

1)  ( 2 ×(2X + 1 ))¢ = …                                5) ((2X + 1) × X3)¢  = . . .

2) ( 3X 5 )¢  = . . .                                           6) (( X2 – X) × (2X4 – 5))¢  = . . .

3) ( 18 Sin X ) ¢ = . . .                                   7) ( 4X5  × (3X2 + 10)) ¢ =. . .

4) ( 0,6 tg X)¢ = . . .                                       8) ( 5X2 × COS X )¢ = . . .


Производная. Нахождение производной степенной функции, производной алгебраической суммы нескольких функций и производной произведения двух функций

Производная. Нахождение производной степенной функции, производной алгебраической суммы нескольких функций и производной произведения двух функций

Производная степенной функции с целым показателем

Производная степенной функции с целым показателем

Производная алгебраической суммы

Производная алгебраической суммы

Производная произведения двух функций

Производная произведения двух функций
Скачать файл