Производная. Применение производной. ч.1. 11 класс. Повторение.

Повторение. «Производная. Применение производной к исследованию функции».

11 класс. Часть 1.

Формулы производных и правила дифференцирования.

Тема 1.Применение производной. Физический смысл производной.

Краткая теория.

Так как это физический смысл производной, то все обозначения будут как в физике, то есть S(t)  - координата точки от времени  (Это теперь так будет обозначаться заданная функция, которую раньше чаще всего мы обозначали f(x) );V(t) - скорость точки или тела ;    a(t)   - ускорение тела.

Правила нахождения производных будем использовать все те, которые мы записали в большой таблице в тетради.

Рассмотрим  решенные примеры.

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t³ - 3t²+ 10 (м).  Найти :   а) скорость через 2 секунды;  б) ускорение через 2 секунды;   в) в какой момент времени ускорение станет равно нулю.                         Решение.

а)    V(t) = S´(t)V(t) = (4t³ - 3t² + 10)´ = 12t²  - 6t +0 =12t² – 6t,    приt=2 V(2) =12·2² - 6·2 = 48 – 12= 36 (м/с).                 Ответ: 36.

б)  ищем ускорениеa(t) = V´(t)a(t)= (12t² – 6t)´ =24t – 6,   при t=2    a(t) = 24·2 – 6=42(м/c²).

Ответ: 42.

в)  Так как ускорение имеет вид: a(t)=24t – 6,  то   24t – 6 = 0 ;  24t = 6;   t = 6 : 24= 0,25 сек.  Ответ:0,25.

Пример 2. Точка движется прямолинейно по закону S(t) =0,5t² +3t +2 (м). Через какой промежуток времени скорость станет равна 15 м/с.            Решение.

V(t) = S´(t)V(t) = (0,5t² +3t +2)´ =0,5·2t + 3= t + 3,по условию V(t) =15,  t + 3 =15, t =15-3=12 (сек)                Ответ: 12.

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону S(t) =4 + 8t – (2t³ / 3). Через сколько секунд тело остановится (то есть скорость станет равна нулю).Решение.

V(t) = S´(t)V(t) = (4 + 8t – (2t³ / 3))´ = 0+8 - 2·3t²/3= 8- 2t²,8- 2t² = 0  2t² =8  t² =4   t = √4 t=2(cек).Ответ: 2.

Тема2.  Применение производной  Геометрический смысл производной.

Краткая теория.

Геометрический смысл  производной связан с углом наклона касательной, проведенной  к графику функции в данной точке или с угловым коэффициентом наклона касательной.

( Теория и разобранные примеры должны быть записаны в тетрадь)

На рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а на рис.2 этот угол тупой. Если угол наклона  касательной острый, то функция при увеличении значения переменной Х  будет возрастать. Если  угол наклона касательной тупой, как на рис.2, то функция на этом участке убывает.

Геометрический смысл производной:

Пример1.  Вычислить тангенс угла наклона касательной к графику функции y= x  - x³в точке с абсциссой  Х₀= - 2.         Решение.

f ´(x) = tgɑy´ = (x – x³)´=1 – 3x²y´( - 2)= 1 - 3·(-2)² = 1 – 12= - 11.Ответ: -11.

Пример2. Найти угловой коэффициент наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) = 2Sinx + 3Cosxв точке х_{0 = π/2.      Решение.}

f ´(x) =Kf ´ (x) =(2Sinx + 3Cosx )´ = 2Cos x – 3Sin x

f ´ (_π/2) =( 2Cos (_{π/2) – 3Sin( π/2) = 2·0 - 3·1 = -3.}Ответ. -3

Пример3. Найти угол наклона касательной  к графику функции y= - tgx, проходящую  через точку М (π ;0).           Решение.

f ´(x) = tgɑtg ɑ =y´ (х) = (- tgx )´ = - 1/ (Cos² x )          из точки  М (π ; 0) координатаx₀=π (вторая координата не используется)подставим в найденную производную вместо  х число π, тогда получим :

tg ɑ = -1 / Cos²π.     Cosπ= -1 (таблица значений тригонометрических функций).

tg ɑ = -1 / ( -1)² = -1/1 = -1   угол ɑ = 135°  (таблица значений тригонометрических функций. Угол наклона касательной может быть в пределах  0°< ɑ<180°).Ответ: 135.

Пример4.   На рисунке изображен график функции и касательные , проведенные к нему в точках с абсциссами A, B, C, D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C, D.Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

При решении  заполните таблицу, расчерченную ниже, в которой для каждой точки  укажите номер соответствующего значения производной.

(При записи ответа укажите полученное четырехзначное число).

Решение.

Пояснения к решению. Их можно в решении не писать только заполненную таблицу и ответ.(Пояснения даны для того, чтобы вы поняли, как решать такого типа задание).

Сначалаопределим знаки производной в каждой отмеченной  точке. Для этого надо мысленно продолжить каждую касательную ( красная) до пересечения с осью ОХ ( как сделано синим цветом для точки B). Увидим, что  в точке A угол наклона касательной будет тупой ( угол берем только с положительным направлением оси ОХ, куда указывает стрелка оси), в точке B этот угол острый, в точке С– острый, в точке D – тупой. Производная  f ´(x) = tgɑЗначение производной в заданной точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в заданной точкеДля острых углов тангенс положительный, чем больше острый угол тем больше его тангенс.Для тупых углов тангенс отрицательный, чем больше тупой угол тем меньше значение его тангенса.                                                                                                                                                        В точках  Bи С производная положительная, причем в т.Bострый угол больше , чем в   т. С. Значит, в таблицу ответов  под точкой B пишем цифру 3, под точкой С пишем цифру 4.                 В точках  Aи D производная отрицательна, причем в т. А тупой угол больше, чем в т.D.                В таблице ответов под точкой А пишем цифру1, под точкой D пишем цифру 2.                

Ответ:    1342

                                Тема 3. Применение производной.

Исследование функции на возрастание и убывание (на монотонность).

Краткая теория.     (Теория и разобранные примеры должны быть записаны в тетрадь).

На рис.1 угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ – острый, а на рис.2 этот угол тупой. Если угол наклона  касательной острый, это означает, что производнаяв этой точке положительна, и функция при увеличении значения переменной Х  будет возрастать.( см. рис.1). Если  уголнаклона касательной тупой, как на рис.2, это означает, что производная в это точке отрицательна, и функция на этом участке убывает. (см.рис. 2.).     Итак,  условие возрастания и убывания функции:

У функции может быть несколько участков убывания и возрастания.   Рис. 3.Разберем примерНа рис.3 изображен график некоторой функцииf (x). Функция возрастает на промежутках [-3;3]  и [13;19). На этих промежутках угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ  острый, значит производная f  ´(x)  > 0, так кактангенс острого угла положителен.Функция убывает на   промежутках [ -8; -3] и [3;13], так как на этих участках угол наклона касательной с положительным направлением оси ОХ  тупой, значит производная f  ´(x)  < 0, так кактангенс тупого  угла отрицательный.Если надо определить участки возрастания и убывания не по графику, а путем вычислений, то действуют по такому плану:                                                                                                                       1. Найти область определения заданной функции.

2. Найти производную  f  ´(x)  заданной функции.

3. Найти промежутки, где производная f  ´(x)  > 0иf  ´(x)  < 0, ( решая полученные неравенства аналитически или методом интервалов).

Пример1. Исследовать функцию f(x) = 5x² -3x +1на монотонность (на возрастание и убывание).                                 Решение.

1.      Область определения функцииD(f) = R.

2.      f ´(x) = (5x² -3x +1)´ = 10x – 3 

3.      f ´(x) = 0     10x -3 =0    10x=3       x= 0,3         Отметим  найденную точку на числовой прямой. Числовая прямая разбилась на два промежутка  (-∞; 0,3] и [0,3; + ∞).Проверим знак производной в каждом из полученных промежутков. Для этого выбираем любое произвольное число из левого промежутка и потом из правого. Выберем любое число        х<0,3например, х=0 и подставим вместо х в производную, получим:  10·0 -3= -3< 0.Поставим слева от числа 0,3 знак минус на числовой прямой.Выберем любое число х>0,3например, х=2 и подставим вместо х в производную, получим:  10·2 -3= 17>0.Поставим  справа от числа 0,3 знак плюс на числовой прямой.Там, где производная положительна  (f ´(x) >0) функция возрастает, то есть возрастает напромежутке  [ 0,3; +∞)

Там, где  производная отрицательна 

(f ´(x)<0) функция убывает, то есть убывает на ( -∞; 0,3].

Пример2. Исследовать функцию f(x) = 3x² –2x³+12хнавозрстание и убывание. Найти длину участка возрастания.

1.Область определения функции   D(f) = R.

2. f ´(x) = (3x² -2x³ +12х)´= 6х – 6х² +12

3. f ´(x) = 0     6х – 6х² +12 =0  разделим на 6 и перепишем по порядку.     - х² +х +2 = 0  Решим это квадратное уравнение, найдем дискриминант и корни.

D= 1² - 4·(-1)·2 = 1 + 8 = 9>0  - два корня. X₁= ( - 1+√9)/ ( -2) =2/ (-2)= - 1;X₂= ( - 1-√9)/ ( -2) =2

Отметим  найденные точки на числовой прямой. Числовая прямая разбилась на три промежутка:

(-∞; -1] , [-1; 2]  и [2; +∞). Прверим знак производной в каждом промежутке.  На (-∞; -1] выберем, например, х = -3 и подставим в производную.  . f ´(-3)=  - ( -3)² +(-3) +2= -9 -3 +2 = -10<0

В случае, когда производная получилась в виде квадратичной функции, то знак в каждом промежутке проверять не надо, достаточно определить знак в одном промежутке, в остальных знаки будут обязательно чередоваться. Изобразим числовую прямую и расставим знаки производной.

Производная положительна на [-1; 2] , значит на этом промежутке функция возрастает. Производная отрицательна на промежутках (-∞; - 1]  и [2; +∞), значит функция убывает на этих промежутках.  Найдем длину участка возрастания    2 – (-1) = 2 +1 =3.Ответ: функция возрастает на промежутке[-1; 2] , убывает на промежутках  (-∞; - 1]  и [2; +∞). Длина участка   3.

Примечание.  Данные темы используются при решении заданий

№14 (базовый уровень),     №7 (профильный уровень).