ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА 1.  Существует   ли   такое   число,   которое   имеет:   а)   только   3;   б)   только   4   натуральных делителя? О т в е т .  а) Да, например, 4, 25, 49, 121 – квадраты любых простых чисел.  б) Да, например, 6, 8, 10.  2. [1] Разложите на простые множители числа 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111. О т в е т . 111 = 3 ∙  37; 1111 = 11 ∙  101; 11111 = 41 ∙  271; 111111 = 3 ∙  7 ∙  11 ∙  13 ∙  37; 1111111 = 239 ∙  4649. 3. [19] Число называется «совершенным», если оно равно сумме всех своих делителей, не считая самого числа. Являются ли числа 6, 28, 496 совершенными? Ответ объясните. Р е ш е н и е . Да. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.  4. Запишите наименьшее пятизначное число, кратное 10, сумма цифр которого равна 13. О т в е т . 10390. 5. [19] Сколько существует натуральных чисел от 1 до 100, каждое из которых делится на 3, но в своей записи не имеет ни одной тройки? О т в е т . 26. 6. [19] Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся на 2, но не делятся на 3; б) делятся на 2 и делятся на 3; в) не делятся ни на 2, ни на 3. О т в е т . а) 33; б) 66; в) 33. 7. Не вычисляя, установите, делится ли: а) на 5 сумма 59600 + 8365; б) на 10 разность 65740 – 1239; в) на 17 сумма 17000 + 3400; г) на 36 разность 7237 – 109. О т в е т . а), в), г) – да.  8. [5] Делится ли 29  3 на: а) 2; б) 5; в) 8; г) 9; д) 6?  О т в е т . а) да, так как 2 входит в разложение этого числа на простые множители;б) нет, так как 5 не входит в разложение этого числа на простые множители;  в) да, поскольку 8 = 23, а в разложение данного числа на простые множители 2 входит 9 раз;  г) нет, так как в разложение данного числа 3 входит только 1 раз, а в разложение числа 9 – дважды; д) да, потому что 6 = 2 ∙   3, а числа 2 и 3 входят в разложение данного числа на простые множители. 9. Делится ли 22  33  7 на: а) 2; б) 4; в) 5; г) 6; д) 7; е) 8; ж) 9; з) 10? О т в е т . а), б), г), д), ж) – да. 10. [5] Число а не делится на 3. Может ли делиться на 3 число 2а? О т в е т . Если число  а  не делится на 3, то в его разложении на простые множители нет числа 3. Этого числа нет и в разложении на простые множители числа 2а. 11. [5] Число а – чётно. Верно ли, что 3а делится на 6? О т в е т . Да, потому что 2 и 3 входят в разложение числа 3а на простые множители. 12. Число 7а делится на 5. Верно ли, что а делится на 5? О т в е т .  Да,  потому  что в разложение числа  7а  на простые  множители  5  входит, а в разложение числа 7 – нет. 13. Число 9а делится на 6. Верно ли, что а делится на 6?  О т в е т .  Нет,  потому   что   множитель  3,  входящий   в   разложение   числа  9а  на   простые множители,   входит   и   в   разложение   числа   9,   при   этом   в   разложении   числа  а  может   не содержаться. Например, пусть а = 2, тогда 9а = 18 делится на 6, а а = 2 – нет. 14.  [19] В семье шестеро детей, причем возраст каждого ребенка в годах выражается простым числом. Пятеро из них на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше самого младшего. Сколько лет младшему? О т в е т . 5 лет. 15. [19] Докажите, что сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 4. Р е ш е н и е . Любое нечётное число можно представить в виде 2n  + 1, следующее за ним нечетное – 2n + 3. Тогда 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4. Каждое из слагаемых делится на 4, значит, и сумма делится на 4. 16. Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?Р е ш е н и е . Чтобы получить на конце числа 0, нужно, чтобы в его разложение на простые множители входили одновременно числа 2 и 5. В разложение произведения 10 ∙  … ∙  25 входит всего 5 пятерок (от множителей 10, 15, 20, 25), двоек гораздо больше (как минимум по одной от каждого четного числа). Поэтому данное число делится на 105, то есть оканчивается пятью нулями. 17. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел 1901  1902  1903  ...  1999  2000?  О т в е т . 25 нулями. 18. Вычислите: 89089089089 ? 7373 – 73073073073 ? 8989.  Р е ш е н и е . Имеем 89 ? 1001001001 ? 73 ? 1001 – 73 ? 1001001001 ? 89 ?  ? 1001 = 0. 19. Сократите дробь:  О т в е т .  .